Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{\sin^{2} (4 x - \frac{π}{3})}$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{\sin^{2} (4 x - \frac{π}{3})} d x$

Paso 3

Convierte de $\frac{1}{\sin^{2} (4 x - \frac{π}{3})}$ a $\csc^{2} (4 x - \frac{π}{3})$ .

$\int \csc^{2} (4 x - \frac{π}{3}) d x$

Paso 4

Sea $u = 4 x - \frac{π}{3}$ . Entonces $d u = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = 4 x - \frac{π}{3}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $4 x - \frac{π}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - \frac{π}{3}]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - \frac{π}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$

Paso 4.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1.4.1

Como $- \frac{π}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{π}{3}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 + 0$

Paso 4.1.4.2

Suma $4$ y $0$ .

$4$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \csc^{2} (u) \frac{1}{4} d u$

Paso 5

Combina $\csc^{2} (u)$ y $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{\csc^{2} (u)}{4} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int \csc^{2} (u) d u$

Paso 7

Como la derivada de $- \cot (u)$ es $\csc^{2} (u)$ , la integral de $\csc^{2} (u)$ es $- \cot (u)$ .

$\frac{1}{4} (- \cot (u) + C)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Simplifica.

$\frac{1}{4} (- \cot (u)) + C$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{4}$ y $\cot (u)$ .

$- \frac{\cot (u)}{4} + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x - \frac{π}{3}$ .

$- \frac{\cot (4 x - \frac{π}{3})}{4} + C$

Paso 10

Reordena los términos.

$- \frac{1}{4} \cot (4 x - \frac{π}{3}) + C$

Paso 11

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{1}{\sin^{2} (4 x - \frac{π}{3})}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{4} \cot (4 x - \frac{π}{3}) + C$