Cálculo Ejemplos

$\int_{- 8}^{4} \frac{14}{{(9 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Paso 1

Dado que $14$ es constante con respecto a $x$ , mueve $14$ fuera de la integral.

$14 \int_{- 8}^{4} \frac{1}{{(9 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Paso 2

Sea $u = 9 - 2 x$ . Entonces $d u = - 2 d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 9 - 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $9 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [9 - 2 x]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.1.2.2

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$0 - 2$

Paso 2.1.4

Resta $2$ de $0$ .

$- 2$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 9 - 2 x$ .

$u_{lower} = 9 - 2 \cdot - 8$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Multiplica $- 2$ por $- 8$ .

$u_{lower} = 9 + 16$

Paso 2.3.2

Suma $9$ y $16$ .

$u_{lower} = 25$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 9 - 2 x$ .

$u_{upper} = 9 - 2 \cdot 4$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$u_{upper} = 9 - 8$

Paso 2.5.2

Resta $8$ de $9$ .

$u_{upper} = 1$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 25$

$u_{upper} = 1$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$14 \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$14 \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} (- \frac{1}{2}) d u$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$14 \int_{25}^{1} - \frac{1}{u^{\frac{3}{2}} \cdot 2} d u$

Paso 3.3

Mueve $2$ a la izquierda de $u^{\frac{3}{2}}$ .

$14 \int_{25}^{1} - \frac{1}{2 u^{\frac{3}{2}}} d u$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$14 (- \int_{25}^{1} \frac{1}{2 u^{\frac{3}{2}}} d u)$

Paso 5

Multiplica $- 1$ por $14$ .

$- 14 \int_{25}^{1} \frac{1}{2 u^{\frac{3}{2}}} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- 14 (\frac{1}{2} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u)$

Paso 7

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1

Simplifica.

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Paso 7.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 14$ .

$\frac{- 14}{2} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Paso 7.1.2

Cancela el factor común de $- 14$ y $2$ .

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Paso 7.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 14$ .

$\frac{2 \cdot - 7}{2} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Paso 7.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 7}{2 (1)} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Paso 7.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 1} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Paso 7.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 7}{1} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Paso 7.1.2.2.4

Divide $- 7$ por $1$ .

$- 7 \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Paso 7.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 7.2.1

Mueve $u^{\frac{3}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- 7 \int_{25}^{1} {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 7.2.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 7.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 7 \int_{25}^{1} u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 7.2.2.2

Multiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Paso 7.2.2.2.1

Combina $\frac{3}{2}$ y $- 1$ .

$- 7 \int_{25}^{1} u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Paso 7.2.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 7 \int_{25}^{1} u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Paso 7.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 7 \int_{25}^{1} u^{- \frac{3}{2}} d u$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{3}{2}}$ con respecto a $u$ es $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 7 (- 2 u^{- \frac{1}{2}}]_{25}^{1})$

Paso 9

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.1

Evalúa $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ en $1$ y en $25$ .

$- 7 ((- 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}) + 2 \cdot 25^{- \frac{1}{2}})$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 7 (- 2 \cdot 1 + 2 \cdot 25^{- \frac{1}{2}})$

Paso 9.2.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 7 (- 2 + 2 \cdot 25^{- \frac{1}{2}})$

Paso 9.2.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{25^{\frac{1}{2}}})$

Paso 9.2.4

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{{(5^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 9.2.5

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{5^{2 (\frac{1}{2})}})$

Paso 9.2.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.6.1

Cancela el factor común.

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{5^{2 (\frac{1}{2})}})$

Paso 9.2.6.2

Reescribe la expresión.

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{5^{1}})$

Paso 9.2.7

Evalúa el exponente.

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{5})$

Paso 9.2.8

Combina $2$ y $\frac{1}{5}$ .

$- 7 (- 2 + \frac{2}{5})$

Paso 9.2.9

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$- 7 (- 2 \cdot \frac{5}{5} + \frac{2}{5})$

Paso 9.2.10

Combina $- 2$ y $\frac{5}{5}$ .

$- 7 (\frac{- 2 \cdot 5}{5} + \frac{2}{5})$

Paso 9.2.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 7 \frac{- 2 \cdot 5 + 2}{5}$

Paso 9.2.12

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.12.1

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$- 7 \frac{- 10 + 2}{5}$

Paso 9.2.12.2

Suma $- 10$ y $2$ .

$- 7 (\frac{- 8}{5})$

Paso 9.2.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 7 (- \frac{8}{5})$

Paso 9.2.14

Multiplica $- 1$ por $- 7$ .

$7 (\frac{8}{5})$

Paso 9.2.15

Combina $7$ y $\frac{8}{5}$ .

$\frac{7 \cdot 8}{5}$

Paso 9.2.16

Multiplica $7$ por $8$ .

$\frac{56}{5}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{56}{5}$

Forma decimal:

$11.2$

Forma de número mixto:

$11 \frac{1}{5}$

Paso 11