Cálculo Ejemplos

$y = \arctan (\sqrt{x - 4})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x - 4}$ como ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \arctan ({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arctan ({(x - 4)}^{\frac{1}{2}}))$

Paso 3

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 4.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.1.2

La derivada de $\arctan (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.2

Multiplica los exponentes en ${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{1 + {(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{1 + {(x - 4)}^{1}} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.3

Simplifica.

$\frac{1}{1 + x - 4} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.4

Resta $4$ de $1$ .

$\frac{1}{x - 3} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x - 4$ .

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Paso 4.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x - 4$ .

$\frac{1}{x - 3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 4])$

Paso 4.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x - 3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Paso 4.5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x - 4$ .

$\frac{1}{x - 3} (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Paso 4.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x - 3} (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Paso 4.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x - 3} (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Paso 4.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{x - 3} (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Paso 4.9

Simplifica el numerador.

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Paso 4.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{x - 3} (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Paso 4.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{x - 3} (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Paso 4.10

Combina fracciones.

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Paso 4.10.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{x - 3} (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Paso 4.10.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x - 3} (\frac{{(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Paso 4.10.3

Mueve ${(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x - 3} (\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Paso 4.10.4

Multiplica $\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x - 3}$ .

$\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Paso 4.11

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 4.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 4.13

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)} (1 + 0)$

Paso 4.14

Simplifica la expresión.

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Paso 4.14.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)} \cdot 1$

Paso 4.14.2

Multiplica $\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)}$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)}$