Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$

Paso 1

Escribe $\frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ como una función.

$f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $\frac{1}{10}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{10} x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{1}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Paso 2.1.2.3

Combina $5$ y $\frac{1}{10}$ .

$\frac{5}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Paso 2.1.2.4

Combina $\frac{5}{10}$ y $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Paso 2.1.2.5

Cancela el factor común de $5$ y $10$ .

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Paso 2.1.2.5.1

Factoriza $5$ de $5 x^{4}$ .

$\frac{5 (x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Paso 2.1.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.5.2.1

Factoriza $5$ de $10$ .

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Paso 2.1.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Paso 2.1.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{4}}{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{x^{4}}{2} - 3 (3 x^{2})$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$f' (x) = \frac{x^{4}}{2} - 9 x^{2}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{4}}{2} - 9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}]$ .

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Paso 2.2.2.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{4}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 2.2.2.3

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 2.2.2.4

Combina $\frac{4}{2}$ y $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 2.2.2.5

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 2.2.2.5.1

Factoriza $2$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 2.2.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.5.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 2.2.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 2.2.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 2.2.2.5.2.4

Divide $2 x^{3}$ por $1$ .

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.3.1

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x^{3} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x^{3} - 9 (2 x)$

Paso 2.2.3.3

Multiplica $2$ por $- 9$ .

$f'' (x) = 2 x^{3} - 18 x$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 x^{3} - 18 x$ .

$2 x^{3} - 18 x$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $2 x^{3} - 18 x = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$2 x^{3} - 18 x = 0$

Paso 3.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{3} - 18 x$ .

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Paso 3.2.1.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{3}$ .

$2 x (x^{2}) - 18 x = 0$

Paso 3.2.1.2

Factoriza $2 x$ de $- 18 x$ .

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 9) = 0$

Paso 3.2.1.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (x^{2}) + 2 x (- 9)$ .

$2 x (x^{2} - 9) = 0$

Paso 3.2.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$2 x (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Paso 3.2.3

Factoriza.

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Paso 3.2.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$2 x ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Paso 3.2.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 x (x + 3) (x - 3) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 3.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 3.5

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 3.5.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 3.6

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.6.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 3.6.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 x (x + 3) (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 3, 3$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $0$ en $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{1}{10} \cdot {(0)}^{5} - 3 {(0)}^{3}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \frac{1}{10} \cdot 0 - 3 {(0)}^{3}$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $\frac{1}{10}$ por $0$ .

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{3}$

Paso 4.1.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0$

Paso 4.1.2.1.4

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Paso 4.1.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ es $(0, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 0)$

Paso 4.3

Sustituye $- 3$ en $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f (- 3) = \frac{1}{10} \cdot {(- 3)}^{5} - 3 {(- 3)}^{3}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $5$ .

$f (- 3) = \frac{1}{10} \cdot - 243 - 3 {(- 3)}^{3}$

Paso 4.3.2.1.2

Combina $\frac{1}{10}$ y $- 243$ .

$f (- 3) = \frac{- 243}{10} - 3 {(- 3)}^{3}$

Paso 4.3.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 3) = - \frac{243}{10} - 3 {(- 3)}^{3}$

Paso 4.3.2.1.4

Multiplica $- 3$ por ${(- 3)}^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.2.1.4.1

Multiplica $- 3$ por ${(- 3)}^{3}$ .

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Paso 4.3.2.1.4.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $1$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + (- 3) {(- 3)}^{3}$

Paso 4.3.2.1.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + {(- 3)}^{1 + 3}$

Paso 4.3.2.1.4.2

Suma $1$ y $3$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + {(- 3)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.5

Eleva $- 3$ a la potencia de $4$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + 81$

Paso 4.3.2.2

Para escribir $81$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{10}{10}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + 81 \cdot \frac{10}{10}$

Paso 4.3.2.3

Combina $81$ y $\frac{10}{10}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + \frac{81 \cdot 10}{10}$

Paso 4.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 3) = \frac{- 243 + 81 \cdot 10}{10}$

Paso 4.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.5.1

Multiplica $81$ por $10$ .

$f (- 3) = \frac{- 243 + 810}{10}$

Paso 4.3.2.5.2

Suma $- 243$ y $810$ .

$f (- 3) = \frac{567}{10}$

Paso 4.3.2.6

La respuesta final es $\frac{567}{10}$ .

$\frac{567}{10}$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 3$ en $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ es $(- 3, \frac{567}{10})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 3, \frac{567}{10})$

Paso 4.5

Sustituye $3$ en $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = \frac{1}{10} \cdot {(3)}^{5} - 3 {(3)}^{3}$

Paso 4.5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.5.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $5$ .

$f (3) = \frac{1}{10} \cdot 243 - 3 {(3)}^{3}$

Paso 4.5.2.1.2

Combina $\frac{1}{10}$ y $243$ .

$f (3) = \frac{243}{10} - 3 {(3)}^{3}$

Paso 4.5.2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (3) = \frac{243}{10} - 3 \cdot 27$

Paso 4.5.2.1.4

Multiplica $- 3$ por $27$ .

$f (3) = \frac{243}{10} - 81$

Paso 4.5.2.2

Para escribir $- 81$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{10}{10}$ .

$f (3) = \frac{243}{10} - 81 \cdot \frac{10}{10}$

Paso 4.5.2.3

Combina $- 81$ y $\frac{10}{10}$ .

$f (3) = \frac{243}{10} + \frac{- 81 \cdot 10}{10}$

Paso 4.5.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (3) = \frac{243 - 81 \cdot 10}{10}$

Paso 4.5.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.2.5.1

Multiplica $- 81$ por $10$ .

$f (3) = \frac{243 - 810}{10}$

Paso 4.5.2.5.2

Resta $810$ de $243$ .

$f (3) = \frac{- 567}{10}$

Paso 4.5.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (3) = - \frac{567}{10}$

Paso 4.5.2.7

La respuesta final es $- \frac{567}{10}$ .

$- \frac{567}{10}$

Paso 4.6

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $3$ en $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ es $(3, - \frac{567}{10})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(3, - \frac{567}{10})$

Paso 4.7

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, 0), (- 3, \frac{567}{10}), (3, - \frac{567}{10})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 3)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3.1$ en la expresión.

$f'' (- 3.1) = 2 {(- 3.1)}^{3} - 18 \cdot - 3.1$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 3.1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 3.1) = 2 \cdot - 29.791 - 18 \cdot - 3.1$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $2$ por $- 29.791$ .

$f'' (- 3.1) = - 59.582 - 18 \cdot - 3.1$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 18$ por $- 3.1$ .

$f'' (- 3.1) = - 59.582 + 55.8$

Paso 6.2.2

Suma $- 59.582$ y $55.8$ .

$f'' (- 3.1) = - 3.782$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 3.782$ .

$- 3.782$

Paso 6.3

En $- 3.1$ , la segunda derivada es $- 3.782$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - 3)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 3)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 3, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{3}{2}$ en la expresión.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 18 (- \frac{3}{2})$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 7.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 18 (- \frac{3}{2})$

Paso 7.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) - 18 (- \frac{3}{2})$

Paso 7.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 18 (- \frac{3}{2})$

Paso 7.2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (- \frac{27}{2^{3}}) - 18 (- \frac{3}{2})$

Paso 7.2.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (- \frac{27}{8}) - 18 (- \frac{3}{2})$

Paso 7.2.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{27}{8}$ al numerador.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{- 27}{8}) - 18 (- \frac{3}{2})$

Paso 7.2.1.5.2

Factoriza $2$ de $8$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{- 27}{2 (4)}) - 18 (- \frac{3}{2})$

Paso 7.2.1.5.3

Cancela el factor común.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{- 27}{2 \cdot 4}) - 18 (- \frac{3}{2})$

Paso 7.2.1.5.4

Reescribe la expresión.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27}{4} - 18 (- \frac{3}{2})$

Paso 7.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} - 18 (- \frac{3}{2})$

Paso 7.2.1.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.1.7.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{2}$ al numerador.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} - 18 (\frac{- 3}{2})$

Paso 7.2.1.7.2

Factoriza $2$ de $- 18$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 2 (- 9) (\frac{- 3}{2})$

Paso 7.2.1.7.3

Cancela el factor común.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 2 \cdot (- 9 (\frac{- 3}{2}))$

Paso 7.2.1.7.4

Reescribe la expresión.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} - 9 \cdot - 3$

Paso 7.2.1.8

Multiplica $- 9$ por $- 3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 27$

Paso 7.2.2

Para escribir $27$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 27 \cdot \frac{4}{4}$

Paso 7.2.3

Combina $27$ y $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + \frac{27 \cdot 4}{4}$

Paso 7.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 27 \cdot 4}{4}$

Paso 7.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.5.1

Multiplica $27$ por $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 108}{4}$

Paso 7.2.5.2

Suma $- 27$ y $108$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4}$

Paso 7.2.6

La respuesta final es $\frac{81}{4}$ .

$\frac{81}{4}$

Paso 7.3

En $- \frac{3}{2}$ , la segunda derivada es $20.25$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- 3, 0)$ .

Incremento en $(- 3, 0)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, 3)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{3}{2}$ en la expresión.

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 {(\frac{3}{2})}^{3} - 18 (\frac{3}{2})$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{3^{3}}{2^{3}}) - 18 (\frac{3}{2})$

Paso 8.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2^{3}}) - 18 (\frac{3}{2})$

Paso 8.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{8}) - 18 (\frac{3}{2})$

Paso 8.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2 (4)}) - 18 (\frac{3}{2})$

Paso 8.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2 \cdot 4}) - 18 (\frac{3}{2})$

Paso 8.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 18 (\frac{3}{2})$

Paso 8.2.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.1.5.1

Factoriza $2$ de $- 18$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + 2 (- 9) (\frac{3}{2})$

Paso 8.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + 2 \cdot (- 9 (\frac{3}{2}))$

Paso 8.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 9 \cdot 3$

Paso 8.2.1.6

Multiplica $- 9$ por $3$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 27$

Paso 8.2.2

Para escribir $- 27$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 27 \cdot \frac{4}{4}$

Paso 8.2.3

Combina $- 27$ y $\frac{4}{4}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + \frac{- 27 \cdot 4}{4}$

Paso 8.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 27 \cdot 4}{4}$

Paso 8.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.5.1

Multiplica $- 27$ por $4$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 108}{4}$

Paso 8.2.5.2

Resta $108$ de $27$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 81}{4}$

Paso 8.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{81}{4}$

Paso 8.2.7

La respuesta final es $- \frac{81}{4}$ .

$- \frac{81}{4}$

Paso 8.3

En $\frac{3}{2}$ , la segunda derivada es $- 20.25$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(0, 3)$ .

Decrecimiento en $(0, 3)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(3, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $3.1$ en la expresión.

$f'' (3.1) = 2 {(3.1)}^{3} - 18 \cdot 3.1$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

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Paso 9.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.1.1

Eleva $3.1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (3.1) = 2 \cdot 29.791 - 18 \cdot 3.1$

Paso 9.2.1.2

Multiplica $2$ por $29.791$ .

$f'' (3.1) = 59.582 - 18 \cdot 3.1$

Paso 9.2.1.3

Multiplica $- 18$ por $3.1$ .

$f'' (3.1) = 59.582 - 55.8$

Paso 9.2.2

Resta $55.8$ de $59.582$ .

$f'' (3.1) = 3.782$

Paso 9.2.3

La respuesta final es $3.782$ .

$3.782$

Paso 9.3

En $3.1$ , la segunda derivada es $3.782$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(3, \infty)$ .

Incremento en $(3, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 10

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(- 3, \frac{567}{10}), (0, 0), (3, - \frac{567}{10})$ .

$(- 3, \frac{567}{10}), (0, 0), (3, - \frac{567}{10})$

Paso 11