Cálculo Ejemplos

$y \cdot 2^{y} = x$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y \cdot 2^{y}) = \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = y$ y $g (x) = 2^{y}$ .

$y \frac{d}{d x} [2^{y}] + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = 2^{x}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$y (\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $2$ .

$y (2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [y]) + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$y (2^{y} \ln (2) \frac{d}{d x} [y]) + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y (2^{y} \ln (2) y') + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y (2^{y} \ln (2) y') + 2^{y} y'$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Reordena los términos.

$2^{y} y \ln (2) y' + 2^{y} y'$

Paso 2.5.2

Reordena los factores en $2^{y} y \ln (2) y' + 2^{y} y'$ .

$y \cdot 2^{y} \ln (2) y' + 2^{y} y'$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y \cdot (2^{y} \ln (2) y') + 2^{y} y' = 1$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica $y \cdot (2^{y} \ln (2) y') + 2^{y} y'$ .

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Paso 5.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\ln (2) y (2^{y} y') + 2^{y} y' = 1$

Paso 5.1.2

Reordena los factores en $\ln (2) y (2^{y} y') + 2^{y} y'$ .

$y y' \cdot 2^{y} \ln (2) + y' \cdot 2^{y} = 1$

Paso 5.2

Factoriza $y' \cdot 2^{y}$ de $y y' \cdot (2^{y} \ln (2)) + y' \cdot 2^{y}$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y' \cdot 2^{y}$ de $y y' \cdot (2^{y} \ln (2))$ .

$y' \cdot (2^{y} (y \cdot \ln (2))) + y' \cdot 2^{y} = 1$

Paso 5.2.2

Factoriza $y' \cdot 2^{y}$ de $y' \cdot 2^{y}$ .

$y' \cdot (2^{y} (y \cdot \ln (2))) + y' \cdot (2^{y} (1)) = 1$

Paso 5.2.3

Factoriza $y' \cdot 2^{y}$ de $y' \cdot 2^{y} (y \cdot \ln (2)) + y' \cdot 2^{y} \cdot 1$ .

$y' \cdot (2^{y} (y \cdot \ln (2) + 1)) = 1$

Paso 5.3

Multiplica $y$ por $\ln (2)$ .

$y' \cdot (2^{y} (y (\ln (2)) + 1)) = 1$

Paso 5.4

Multiplica $y$ por $\ln (2)$ .

$y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1)) = 1$

Paso 5.5

Divide cada término en $y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1)) = 1$ por $2^{y} (y \ln (2) + 1)$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en $y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1)) = 1$ por $2^{y} (y \ln (2) + 1)$ .

$\frac{y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1))}{2^{y} (y \ln (2) + 1)} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $2^{y}$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1))}{2^{y} (y \ln (2) + 1)} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

Paso 5.5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' \cdot (y \ln (2) + 1)}{y \ln (2) + 1} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

Paso 5.5.2.2

Cancela el factor común de $y \ln (2) + 1$ .

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Paso 5.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' \cdot (y \ln (2) + 1)}{y \ln (2) + 1} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

Paso 5.5.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$