Cálculo Ejemplos

$y = x + 4 \sqrt{x + 2}$

Paso 1

Diferencia.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 4 \sqrt{x + 2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x + 2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x + 2}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x + 2}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x + 2}]$ .

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 2}$ como ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$1 + 4 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x + 2$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 2$ .

$1 + 4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 2])$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 2$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Paso 2.4

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]))$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [2]))$

Paso 2.6

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))$

Paso 2.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0))$

Paso 2.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))$

Paso 2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))$

Paso 2.10

Simplifica el numerador.

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Paso 2.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0))$

Paso 2.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0))$

Paso 2.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0))$

Paso 2.12

Suma $1$ y $0$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)$

Paso 2.13

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + 4 (\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)$

Paso 2.14

Multiplica $\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$1 + 4 \frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 2.15

Mueve ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 4 \frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.16

Combina $4$ y $\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 + \frac{4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.17

Factoriza $2$ de $4$ .

$1 + \frac{2 \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.18

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.18.1

Factoriza $2$ de $2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{2 \cdot 2}{2 ({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 2.18.2

Cancela el factor común.

$1 + \frac{2 \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.18.3

Reescribe la expresión.

$1 + \frac{2}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$