Cálculo Ejemplos

$\int_{- 1}^{4} [3 y - (y^{2} - 4)] d y$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{- 1}^{4} 3 y - (y^{2} - 4) d y$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 1}^{4} 3 y d y + \int_{- 1}^{4} - (y^{2} - 4) d y$

Paso 3

Dado que $3$ es constante con respecto a $y$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int_{- 1}^{4} y d y + \int_{- 1}^{4} - (y^{2} - 4) d y$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} - (y^{2} - 4) d y$

Paso 5

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$3 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} - (y^{2} - 4) d y$

Paso 6

Multiplica $- (y^{2} - 4)$ .

$3 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} - y^{2} - - 4 d y$

Paso 7

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$3 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} - y^{2} + 4 d y$

Paso 8

Divide la única integral en varias integrales.

$3 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} - y^{2} d y + \int_{- 1}^{4} 4 d y$

Paso 9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$3 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) - \int_{- 1}^{4} y^{2} d y + \int_{- 1}^{4} 4 d y$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$3 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) - (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} 4 d y$

Paso 11

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$3 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} 4 d y$

Paso 12

Aplica la regla de la constante.

$3 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{4}) + 4 y]_{- 1}^{4}$

Paso 13

Sustituye y simplifica.

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Paso 13.1

Evalúa $\frac{y^{2}}{2}$ en $4$ y en $- 1$ .

$3 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{4}) + 4 y]_{- 1}^{4}$

Paso 13.2

Evalúa $\frac{y^{3}}{3}$ en $4$ y en $- 1$ .

$3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 4 y]_{- 1}^{4}$

Paso 13.3

Evalúa $4 y$ en $4$ y en $- 1$ .

$3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Paso 13.4

Simplifica.

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Paso 13.4.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$3 (\frac{16}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Paso 13.4.2

Cancela el factor común de $16$ y $2$ .

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Paso 13.4.2.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Paso 13.4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.4.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Paso 13.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Paso 13.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$3 (\frac{8}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Paso 13.4.2.2.4

Divide $8$ por $1$ .

$3 (8 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Paso 13.4.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$3 (8 - \frac{1}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Paso 13.4.4

Para escribir $8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$3 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Paso 13.4.5

Combina $8$ y $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Paso 13.4.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Paso 13.4.7

Simplifica el numerador.

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Paso 13.4.7.1

Multiplica $8$ por $2$ .

$3 \frac{16 - 1}{2} - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Paso 13.4.7.2

Resta $1$ de $16$ .

$3 (\frac{15}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Paso 13.4.8

Combina $3$ y $\frac{15}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 15}{2} - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Paso 13.4.9

Multiplica $3$ por $15$ .

$\frac{45}{2} - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Paso 13.4.10

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$\frac{45}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Paso 13.4.11

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\frac{45}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{- 1}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Paso 13.4.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{45}{2} - (\frac{64}{3} - - \frac{1}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Paso 13.4.13

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{45}{2} - (\frac{64}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Paso 13.4.14

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{45}{2} - (\frac{64}{3} + \frac{1}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Paso 13.4.15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{45}{2} - \frac{64 + 1}{3} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Paso 13.4.16

Suma $64$ y $1$ .

$\frac{45}{2} - \frac{65}{3} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Paso 13.4.17

Para escribir $\frac{45}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{45}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{65}{3} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Paso 13.4.18

Para escribir $- \frac{65}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{45}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{65}{3} \cdot \frac{2}{2} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Paso 13.4.19

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 13.4.19.1

Multiplica $\frac{45}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{45 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{65}{3} \cdot \frac{2}{2} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Paso 13.4.19.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{45 \cdot 3}{6} - \frac{65}{3} \cdot \frac{2}{2} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Paso 13.4.19.3

Multiplica $\frac{65}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{45 \cdot 3}{6} - \frac{65 \cdot 2}{3 \cdot 2} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Paso 13.4.19.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{45 \cdot 3}{6} - \frac{65 \cdot 2}{6} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Paso 13.4.20

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{45 \cdot 3 - 65 \cdot 2}{6} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Paso 13.4.21

Simplifica el numerador.

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Paso 13.4.21.1

Multiplica $45$ por $3$ .

$\frac{135 - 65 \cdot 2}{6} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Paso 13.4.21.2

Multiplica $- 65$ por $2$ .

$\frac{135 - 130}{6} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Paso 13.4.21.3

Resta $130$ de $135$ .

$\frac{5}{6} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Paso 13.4.22

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{5}{6} + 16 - 4 \cdot - 1$

Paso 13.4.23

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{5}{6} + 16 + 4$

Paso 13.4.24

Suma $16$ y $4$ .

$\frac{5}{6} + 20$

Paso 13.4.25

Para escribir $20$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5}{6} + 20 \cdot \frac{6}{6}$

Paso 13.4.26

Combina $20$ y $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5}{6} + \frac{20 \cdot 6}{6}$

Paso 13.4.27

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5 + 20 \cdot 6}{6}$

Paso 13.4.28

Simplifica el numerador.

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Paso 13.4.28.1

Multiplica $20$ por $6$ .

$\frac{5 + 120}{6}$

Paso 13.4.28.2

Suma $5$ y $120$ .

$\frac{125}{6}$

Paso 14

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{125}{6}$

Forma decimal:

$20.8\overline{3}$

Forma de número mixto:

$20 \frac{5}{6}$

Paso 15