Cálculo Ejemplos

$\frac{d}{d x} \cdot \frac{6 x}{e^{x}}$

Paso 1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{6 x}{e^{x}}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{e^{x}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{e^{x}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x}$ .

$6 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{x})}^{2}$ .

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Paso 3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Paso 3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$6 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 \frac{e^{x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 3.3

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$6 \frac{e^{x} - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$6 \frac{e^{x} - x e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 5

Combina $6$ y $\frac{e^{x} - x e^{x}}{e^{2 x}}$ .

$\frac{6 (e^{x} - x e^{x})}{e^{2 x}}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 e^{x} + 6 (- x e^{x})}{e^{2 x}}$

Paso 6.2

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$\frac{6 e^{x} - 6 x e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 6.3

Reordena los términos.

$\frac{- 6 e^{x} x + 6 e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 6.4

Factoriza $6 e^{x}$ de $- 6 e^{x} x + 6 e^{x}$ .

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Paso 6.4.1

Factoriza $6 e^{x}$ de $- 6 e^{x} x$ .

$\frac{6 e^{x} (- x) + 6 e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 6.4.2

Factoriza $6 e^{x}$ de $6 e^{x}$ .

$\frac{6 e^{x} (- x) + 6 e^{x} (1)}{e^{2 x}}$

Paso 6.4.3

Factoriza $6 e^{x}$ de $6 e^{x} (- x) + 6 e^{x} (1)$ .

$\frac{6 e^{x} (- x + 1)}{e^{2 x}}$

Paso 6.5

Cancela el factor común de $e^{x}$ y $e^{2 x}$ .

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Paso 6.5.1

Factoriza $e^{2 x}$ de $6 e^{x} (- x + 1)$ .

$\frac{e^{2 x} (6 e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x}}$

Paso 6.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.5.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{e^{2 x} (6 e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Paso 6.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{e^{2 x} (6 e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Paso 6.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{6 e^{- x} (- x + 1)}{1}$

Paso 6.5.2.4

Divide $6 e^{- x} (- x + 1)$ por $1$ .

$6 e^{- x} (- x + 1)$

Paso 6.6

Aplica la propiedad distributiva.

$6 e^{- x} (- x) + 6 e^{- x} \cdot 1$

Paso 6.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$6 \cdot - 1 e^{- x} x + 6 e^{- x} \cdot 1$

Paso 6.8

Multiplica $6$ por $1$ .

$6 \cdot - 1 e^{- x} x + 6 e^{- x}$

Paso 6.9

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$- 6 e^{- x} x + 6 e^{- x}$

Paso 6.10

Reordena los factores en $- 6 e^{- x} x + 6 e^{- x}$ .

$- 6 x e^{- x} + 6 e^{- x}$