Cálculo Ejemplos

$5 - 2 x^{2} + y^{3} + y^{2} = x$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (5 - 2 x^{2} + y^{3} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 - 2 x^{2} + y^{3} + y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.1.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$0 - 4 x + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y$ .

$0 - 4 x + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$0 - 4 x + 3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y$ .

$0 - 4 x + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$0 - 4 x + 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Paso 2.4.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.4.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$0 - 4 x + 3 y^{2} y' + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.4.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - 4 x + 3 y^{2} y' + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.4.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$0 - 4 x + 3 y^{2} y' + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.4.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$0 - 4 x + 3 y^{2} y' + 2 y y'$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Resta $4 x$ de $0$ .

$- 4 x + 3 y^{2} y' + 2 y y'$

Paso 2.5.2

Reordena los términos.

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 4 x$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 4 x = 1$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Suma $4 x$ a ambos lados de la ecuación.

$3 y^{2} y' + 2 y y' = 1 + 4 x$

Paso 5.2

Factoriza $y y'$ de $3 y^{2} y' + 2 y y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$y y' (3 y) + 2 y y' = 1 + 4 x$

Paso 5.2.2

Factoriza $y y'$ de $2 y y'$ .

$y y' (3 y) + y y' \cdot 2 = 1 + 4 x$

Paso 5.2.3

Factoriza $y y'$ de $y y' (3 y) + y y' \cdot 2$ .

$y y' (3 y + 2) = 1 + 4 x$

Paso 5.3

Divide cada término en $y y' (3 y + 2) = 1 + 4 x$ por $y (3 y + 2)$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $y y' (3 y + 2) = 1 + 4 x$ por $y (3 y + 2)$ .

$\frac{y y' (3 y + 2)}{y (3 y + 2)} = \frac{1}{y (3 y + 2)} + \frac{4 x}{y (3 y + 2)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y' (3 y + 2)}{y (3 y + 2)} = \frac{1}{y (3 y + 2)} + \frac{4 x}{y (3 y + 2)}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (3 y + 2)}{3 y + 2} = \frac{1}{y (3 y + 2)} + \frac{4 x}{y (3 y + 2)}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $3 y + 2$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (3 y + 2)}{3 y + 2} = \frac{1}{y (3 y + 2)} + \frac{4 x}{y (3 y + 2)}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{y (3 y + 2)} + \frac{4 x}{y (3 y + 2)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y (3 y + 2)} + \frac{4 x}{y (3 y + 2)}$