Cálculo Ejemplos

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 7 \cot^{2} (x) d x$

Paso 1

Dado que $7$ es constante con respecto a $x$ , mueve $7$ fuera de la integral.

$7 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (x) d x$

Paso 2

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\cot^{2} (x)$ como $- 1 + \csc^{2} (x)$ .

$7 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - 1 + \csc^{2} (x) d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$7 (\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - 1 d x + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (x) d x)$

Paso 4

Aplica la regla de la constante.

$7 (- x]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (x) d x)$

Paso 5

Como la derivada de $- \cot (x)$ es $\csc^{2} (x)$ , la integral de $\csc^{2} (x)$ es $- \cot (x)$ .

$7 (- x]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + - \cot (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Combina $- x]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ y $- \cot (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ .

$7 (- x - \cot (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

Paso 6.2

Evalúa $- x - \cot (x)$ en $\frac{π}{2}$ y en $\frac{π}{6}$ .

$7 (- \frac{π}{2} - \cot (\frac{π}{2}) - (- \frac{π}{6} - \cot (\frac{π}{6})))$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

El valor exacto de $\cot (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$7 (- \frac{π}{2} - 0 - (- \frac{π}{6} - \cot (\frac{π}{6})))$

Paso 6.3.2

El valor exacto de $\cot (\frac{π}{6})$ es $\sqrt{3}$ .

$7 (- \frac{π}{2} - 0 - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Paso 6.3.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$7 (- \frac{π}{2} + 0 - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Paso 6.3.4

Suma $- \frac{π}{2}$ y $0$ .

$7 (- \frac{π}{2} - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Paso 6.3.5

Para escribir $- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$7 (- \frac{π}{2} - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot \frac{2}{2})$

Paso 6.3.6

Combina $- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ y $\frac{2}{2}$ .

$7 (- \frac{π}{2} + \frac{- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot 2}{2})$

Paso 6.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$7 \frac{- π - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot 2}{2}$

Paso 6.3.8

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$7 \frac{- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})}{2}$

Paso 6.3.9

Combina $7$ y $\frac{- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})}{2}$ .

$\frac{7 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{2}$

Paso 6.3.10

Factoriza $- 1$ de $- π$ .

$\frac{7 (- (π) - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{2}$

Paso 6.3.11

Factoriza $- 1$ de $- 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ .

$\frac{7 (- (π) - (2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2}$

Paso 6.3.12

Factoriza $- 1$ de $- (π) - (2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ .

$\frac{7 (- (π + 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2}$

Paso 6.3.13

Reescribe $- (π + 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ como $- 1 (π + 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ .

$\frac{7 (- 1 (π + 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2}$

Paso 6.3.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{7 (π + 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{2}$

Paso 6.4

Simplifica.

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Paso 6.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{7 (π + 2 (- \frac{π}{6}) + 2 (- \sqrt{3}))}{2}$

Paso 6.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.4.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{6}$ al numerador.

$- \frac{7 (π + 2 \frac{- π}{6} + 2 (- \sqrt{3}))}{2}$

Paso 6.4.2.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$- \frac{7 (π + 2 \frac{- π}{2 (3)} + 2 (- \sqrt{3}))}{2}$

Paso 6.4.2.3

Cancela el factor común.

$- \frac{7 (π + 2 \frac{- π}{2 \cdot 3} + 2 (- \sqrt{3}))}{2}$

Paso 6.4.2.4

Reescribe la expresión.

$- \frac{7 (π + \frac{- π}{3} + 2 (- \sqrt{3}))}{2}$

Paso 6.4.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{7 (π + \frac{- π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Paso 6.4.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{7 (π - \frac{π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Paso 6.4.5

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{7 (π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Paso 6.4.6

Combina $π$ y $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{7 (\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Paso 6.4.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{7 (\frac{π \cdot 3 - π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Paso 6.4.8

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$- \frac{7 (\frac{3 \cdot π - π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Paso 6.4.9

Resta $π$ de $3 π$ .

$- \frac{7 (\frac{2 π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Paso 6.4.10

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{7 \frac{2 π}{3} + 7 (- 2 \sqrt{3})}{2}$

Paso 6.4.11

Multiplica $7 \frac{2 π}{3}$ .

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Paso 6.4.11.1

Combina $7$ y $\frac{2 π}{3}$ .

$- \frac{\frac{7 (2 π)}{3} + 7 (- 2 \sqrt{3})}{2}$

Paso 6.4.11.2

Multiplica $2$ por $7$ .

$- \frac{\frac{14 π}{3} + 7 (- 2 \sqrt{3})}{2}$

Paso 6.4.12

Multiplica $- 2$ por $7$ .

$- \frac{\frac{14 π}{3} - 14 \sqrt{3}}{2}$

Paso 6.4.13

Cancela el factor común de $\frac{14 π}{3} - 14 \sqrt{3}$ y $2$ .

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Paso 6.4.13.1

Factoriza $2$ de $\frac{14 π}{3}$ .

$- \frac{2 \frac{7 π}{3} - 14 \sqrt{3}}{2}$

Paso 6.4.13.2

Factoriza $2$ de $- 14 \sqrt{3}$ .

$- \frac{2 \frac{7 π}{3} + 2 (- 7 \sqrt{3})}{2}$

Paso 6.4.13.3

Factoriza $2$ de $2 \frac{7 π}{3} + 2 (- 7 \sqrt{3})$ .

$- \frac{2 (\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3})}{2}$

Paso 6.4.13.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.4.13.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{2 (\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3})}{2 (1)}$

Paso 6.4.13.4.2

Cancela el factor común.

$- \frac{2 (\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 6.4.13.4.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3}}{1}$

Paso 6.4.13.4.4

Divide $\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3}$ por $1$ .

$- (\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3})$

Paso 6.4.14

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{7 π}{3} - (- 7 \sqrt{3})$

Paso 6.4.15

Multiplica $- 7$ por $- 1$ .

$- \frac{7 π}{3} + 7 \sqrt{3}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{7 π}{3} + 7 \sqrt{3}$

Forma decimal:

$4.79397279 \dots$