Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{2} \frac{x^{2} - 2}{x + 1} d x$

Paso 1

Divide $x^{2} - 2$ por $x + 1$ .

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Paso 1.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

Paso 1.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$

Paso 1.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Paso 1.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} + x$ .

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Paso 1.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$

Paso 1.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$2$

Paso 1.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$2$

Paso 1.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$2$
					-	$x$	-	$1$

Paso 1.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x - 1$ .

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$2$
					+	$x$	+	$1$

Paso 1.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$2$
					+	$x$	+	$1$
							-	$1$

Paso 1.11

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int_{0}^{2} x - 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} - 1 d x + \int_{0}^{2} - \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 1 d x + \int_{0}^{2} - \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 4

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2} + - x]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2} + - x]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 6

Sea $u = x + 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 6.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 6.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 6.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 6.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Paso 6.3

Suma $0$ y $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 6.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 2 + 1$

Paso 6.5

Suma $2$ y $1$ .

$u_{upper} = 3$

Paso 6.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Paso 6.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2} + - x]_{0}^{2} - \int_{1}^{3} \frac{1}{u} d u$

Paso 7

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2} + - x]_{0}^{2} - (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

Paso 8

Combina $\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}$ y $- x]_{0}^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - x]_{0}^{2} - (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

Paso 9

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.1

Evalúa $\frac{1}{2} x^{2} - x$ en $2$ y en $0$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

Paso 9.2

Evalúa $\ln (| u |)$ en $3$ y en $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4 - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 9.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$\frac{4}{2} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 9.3.3

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 9.3.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 9.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 9.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 9.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{1} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 9.3.3.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$2 - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 9.3.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 - 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 9.3.5

Resta $2$ de $2$ .

$0 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 9.3.6

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - (\frac{1}{2} \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 9.3.7

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$0 - (0 - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 9.3.8

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0 - (0 + 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 9.3.9

Suma $0$ y $0$ .

$0 - 0 - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 9.3.10

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0 + 0 - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 9.3.11

Suma $0$ y $0$ .

$0 - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 9.3.12

Resta $\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |)$ de $0$ .

$- (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 10

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $3$ es $3$ .

$- \ln (\frac{3}{| 1 |})$

Paso 11.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$- \ln (\frac{3}{1})$

Paso 11.3

Divide $3$ por $1$ .

$- \ln (3)$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \ln (3)$

Forma decimal:

$- 1.09861228 \dots$

Paso 13