Cálculo Ejemplos

$\frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$

Paso 1

Escribe $\frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ como una función.

$f (x) = \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}} d x$

Paso 4

Sea $u_{2} = 1 + e^{- x}$ . Entonces $d u_{2} = - e^{- x} d x$ , de modo que $- \frac{1}{e^{- x}} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Deja $u_{2} = 1 + e^{- x}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Diferencia $1 + e^{- x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{- x}]$

Paso 4.1.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + e^{- x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 4.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- x$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 4.1.3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 4.1.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- x$ .

$0 + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 4.1.3.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Paso 4.1.3.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 + e^{- x} \cdot - 1$

Paso 4.1.3.5

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$0 - 1 \cdot e^{- x}$

Paso 4.1.3.6

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$0 - e^{- x}$

Paso 4.1.4

Resta $e^{- x}$ de $0$ .

$- e^{- x}$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 5

Divide la fracción en varias fracciones.

$\int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 7

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$- (\ln (| u_{2} |) + C)$

Paso 8

Simplifica.

$- \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 + e^{- x}$ .

$- \ln (| 1 + e^{- x} |) + C$

Paso 10

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ .

$F (x) =$ $- \ln (| 1 + e^{- x} |) + C$