Cálculo Ejemplos

$x^{2} + \frac{3}{x} - 2 \sqrt{x}$

Paso 1

Escribe $x^{2} + \frac{3}{x} - 2 \sqrt{x}$ como una función.

$f (x) = x^{2} + \frac{3}{x} - 2 \sqrt{x}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int x^{2} + \frac{3}{x} - 2 \sqrt{x} d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x^{2} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 \sqrt{x} d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 \sqrt{x} d x$

Paso 6

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 \int \frac{1}{x} d x + \int - 2 \sqrt{x} d x$

Paso 7

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 (\ln (| x |) + C) + \int - 2 \sqrt{x} d x$

Paso 8

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 \int \sqrt{x} d x$

Paso 9

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Simplifica.

$\frac{1}{3} x^{3} + 3 \ln (| x |) - 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 11.2

Simplifica.

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Paso 11.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 3 \ln (| x |) + \frac{- 2 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 11.2.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 3 \ln (| x |) + \frac{- 4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 11.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} x^{3} + 3 \ln (| x |) - \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 12

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = x^{2} + \frac{3}{x} - 2 \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 3 \ln (| x |) - \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$