Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{2} + x + 1}{x + 2}$

Paso 1

Escribe $\frac{x^{2} + x + 1}{x + 2}$ como una función.

$f (x) = \frac{x^{2} + x + 1}{x + 2}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{x^{2} + x + 1}{x + 2} d x$

Paso 4

Divide $x^{2} + x + 1$ por $x + 2$ .

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Paso 4.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$x$

$1$

Paso 4.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x$
	$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$

Paso 4.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$

Paso 4.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} + 2 x$ .

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$

Paso 4.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$x$

Paso 4.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$x$	+	$1$

Paso 4.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x$	-	$1$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$x$	+	$1$

Paso 4.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$x$	+	$1$
					-	$x$	-	$2$

Paso 4.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x - 2$ .

				$x$	-	$1$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$x$	+	$1$
					+	$x$	+	$2$

Paso 4.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$x$	+	$1$
					+	$x$	+	$2$
							+	$3$

Paso 4.11

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int x - 1 + \frac{3}{x + 2} d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{3}{x + 2} d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x + \int \frac{3}{x + 2} d x$

Paso 7

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{3}{x + 2} d x$

Paso 8

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + 3 \int \frac{1}{x + 2} d x$

Paso 9

Sea $u = x + 2$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 9.1

Deja $u = x + 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 9.1.1

Diferencia $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 9.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 9.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 9.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 9.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 9.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + 3 \int \frac{1}{u} d u$

Paso 10

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + 3 (\ln (| u |) + C)$

Paso 11

Simplifica.

$\frac{1}{2} x^{2} - x + 3 \ln (| u |) + C$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 2$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - x + 3 \ln (| x + 2 |) + C$

Paso 13

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{x^{2} + x + 1}{x + 2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - x + 3 \ln (| x + 2 |) + C$