Cálculo Ejemplos

$y = x^{\frac{2}{3}}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x^{\frac{2}{3}})$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{\frac{2}{3}}$ y $g (y) = x$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.5.2

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.7

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.8

Mueve $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.9

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x'$

Paso 3.10

Combina $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ y $x'$ .

$\frac{2 x'}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = \frac{2 x'}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{2 x'}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 1$ .

$\frac{2 x'}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 1$

Paso 5.2

Multiplica ambos lados por $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 x'}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.1.1

Simplifica $\frac{2 x'}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}})$ .

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Paso 5.3.1.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 \frac{2 x'}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 5.3.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{2 x'}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 5.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x'}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 5.3.1.1.3

Cancela el factor común de $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 5.3.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x'}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 5.3.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$2 x' = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.1

Multiplica $3 x^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$2 x' = 3 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 5.4

Divide cada término en $2 x' = 3 x^{\frac{1}{3}}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $2 x' = 3 x^{\frac{1}{3}}$ por $2$ .

$\frac{2 x'}{2} = \frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{2}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x'}{2} = \frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{2}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{2}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{2}$