Cálculo Ejemplos

$[8 (4^{x})]$

Paso 1

Escribe $[8 (4^{x})]$ como una función.

$f (x) = [8 (4^{x})]$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int 8 (4^{x}) d x$

Paso 4

Elimina los paréntesis.

$\int 8 (4^{x}) d x$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\int 2^{3} \cdot 4^{x} d x$

Paso 5.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\int 2^{3} \cdot {(2^{2})}^{x} d x$

Paso 5.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 2^{3} \cdot 2^{2 x} d x$

Paso 5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 2^{3 + 2 x} d x$

Paso 6

Sea $u = 3 + 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = 3 + 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $3 + 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 + 2 x]$

Paso 6.1.2

Diferencia.

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Paso 6.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 + 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 6.1.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 6.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 6.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Paso 6.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$0 + 2$

Paso 6.1.4

Suma $0$ y $2$ .

$2$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int 2^{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 7

Combina $2^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{2^{u}}{2} d u$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int 2^{u} d u$

Paso 9

La integral de $2^{u}$ con respecto a $u$ es $\frac{2^{u}}{\ln (2)}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Reescribe $\frac{1}{2} (\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C)$ como $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

Paso 10.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$\frac{1}{2 \ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 + 2 x$ .

$\frac{1}{2 \ln (2)} \cdot 2^{3 + 2 x} + C$

Paso 12

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = 8 (4^{x})$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2 \ln (2)} \cdot 2^{3 + 2 x} + C$