Cálculo Ejemplos

$\frac{3 x^{2} + 5 x - 1}{x - 2}$

Paso 1

Escribe $\frac{3 x^{2} + 5 x - 1}{x - 2}$ como una función.

$f (x) = \frac{3 x^{2} + 5 x - 1}{x - 2}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{3 x^{2} + 5 x - 1}{x - 2} d x$

Paso 4

Divide $3 x^{2} + 5 x - 1$ por $x - 2$ .

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Paso 4.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$2$

$3 x^{2}$

$5 x$

$1$

Paso 4.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $3 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$3 x$
	$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$

Paso 4.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$3 x$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			+	$3 x^{2}$	-	$6 x$

Paso 4.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $3 x^{2} - 6 x$ .

				$3 x$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{2}$	+	$6 x$

Paso 4.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$3 x$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$11 x$

Paso 4.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$3 x$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$11 x$	-	$1$

Paso 4.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $11 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$3 x$	+	$11$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$11 x$	-	$1$

Paso 4.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$3 x$	+	$11$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$11 x$	-	$1$
					+	$11 x$	-	$22$

Paso 4.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $11 x - 22$ .

				$3 x$	+	$11$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$11 x$	-	$1$
					-	$11 x$	+	$22$

Paso 4.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$3 x$	+	$11$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$11 x$	-	$1$
					-	$11 x$	+	$22$
							+	$21$

Paso 4.11

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int 3 x + 11 + \frac{21}{x - 2} d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 3 x d x + \int 11 d x + \int \frac{21}{x - 2} d x$

Paso 6

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int x d x + \int 11 d x + \int \frac{21}{x - 2} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 11 d x + \int \frac{21}{x - 2} d x$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 11 x + C + \int \frac{21}{x - 2} d x$

Paso 9

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 11 x + C + \int \frac{21}{x - 2} d x$

Paso 10

Dado que $21$ es constante con respecto a $x$ , mueve $21$ fuera de la integral.

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 11 x + C + 21 \int \frac{1}{x - 2} d x$

Paso 11

Sea $u = x - 2$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 11.1

Deja $u = x - 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 11.1.1

Diferencia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Paso 11.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 11.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 11.1.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 11.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 11.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 11 x + C + 21 \int \frac{1}{u} d u$

Paso 12

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 11 x + C + 21 (\ln (| u |) + C)$

Paso 13

Simplifica.

$\frac{3 x^{2}}{2} + 11 x + 21 \ln (| u |) + C$

Paso 14

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 2$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} + 11 x + 21 \ln (| x - 2 |) + C$

Paso 15

Reordena los términos.

$\frac{3}{2} x^{2} + 11 x + 21 \ln (| x - 2 |) + C$

Paso 16

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{3 x^{2} + 5 x - 1}{x - 2}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} + 11 x + 21 \ln (| x - 2 |) + C$