Cálculo Ejemplos

$\int 1 + {(\sin (x) - \cos (x))}^{2} d x$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Reescribe ${(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$ como $(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$ .

$\int 1 + (\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x)) d x$

Paso 1.1.2

Expande $(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 1 + \sin (x) (\sin (x) - \cos (x)) - \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) d x$

Paso 1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 1 + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) d x$

Paso 1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 1 + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Paso 1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.1.1

Multiplica $\sin (x) \sin (x)$ .

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Paso 1.1.3.1.1.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\int 1 + \sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Paso 1.1.3.1.1.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\int 1 + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Paso 1.1.3.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 1 + {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Paso 1.1.3.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\int 1 + \sin^{2} (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Paso 1.1.3.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Paso 1.1.3.1.3

Multiplica $- \cos (x) (- \cos (x))$ .

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Paso 1.1.3.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + 1 \cos (x) \cos (x) d x$

Paso 1.1.3.1.3.2

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Paso 1.1.3.1.3.3

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) d x$

Paso 1.1.3.1.3.4

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) d x$

Paso 1.1.3.1.3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} d x$

Paso 1.1.3.1.3.6

Suma $1$ y $1$ .

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Paso 1.1.3.2

Reordena los factores de $- \sin (x) \cos (x)$ .

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Paso 1.1.3.3

Resta $\cos (x) \sin (x)$ de $- \cos (x) \sin (x)$ .

$\int 1 + \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Paso 1.1.4

Mueve $\cos^{2} (x)$ .

$\int 1 + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Paso 1.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int 1 + 1 - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Paso 1.2

Suma $1$ y $1$ .

$\int 2 - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 2 d x + \int - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Paso 3

Aplica la regla de la constante.

$2 x + C + \int - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Paso 4

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$2 x + C - 2 \int \cos (x) \sin (x) d x$

Paso 5

Sea $u = \cos (x)$ . Entonces $d u = - \sin (x) d x$ , de modo que $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = \cos (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 5.1.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$2 x + C - 2 \int - u d u$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 x + C - 2 (- \int u d u)$

Paso 7

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$2 x + C + 2 \int u d u$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$2 x + C + 2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Simplifica.

$2 x + 2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$2 x + \frac{2}{2} u^{2} + C$

Paso 9.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.2.1

Cancela el factor común.

$2 x + \frac{2}{2} u^{2} + C$

Paso 9.2.2.2

Reescribe la expresión.

$2 x + 1 u^{2} + C$

Paso 9.2.3

Multiplica $u^{2}$ por $1$ .

$2 x + u^{2} + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$2 x + \cos^{2} (x) + C$