Cálculo Ejemplos

$y = \cos (θ) \cot (θ)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ es $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ donde $f (θ) = \cos (θ)$ y $g (θ) = \cot (θ)$ .

$\cos (θ) \frac{d}{d θ} [\cot (θ)] + \cot (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Paso 2

La derivada de $\cot (θ)$ con respecto a $θ$ es $- \csc^{2} (θ)$ .

$\cos (θ) (- \csc^{2} (θ)) + \cot (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Paso 3

La derivada de $\cos (θ)$ con respecto a $θ$ es $- \sin (θ)$ .

$\cos (θ) (- \csc^{2} (θ)) + \cot (θ) (- \sin (θ))$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reordena los términos.

$- \csc^{2} (θ) \cos (θ) - \cot (θ) \sin (θ)$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Reescribe $\csc (θ)$ en términos de senos y cosenos.

$- {(\frac{1}{\sin (θ)})}^{2} \cos (θ) - \cot (θ) \sin (θ)$

Paso 4.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\sin (θ)}$ .

$- \frac{1^{2}}{\sin^{2} (θ)} \cos (θ) - \cot (θ) \sin (θ)$

Paso 4.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{1}{\sin^{2} (θ)} \cos (θ) - \cot (θ) \sin (θ)$

Paso 4.2.4

Combina $\cos (θ)$ y $\frac{1}{\sin^{2} (θ)}$ .

$- \frac{\cos (θ)}{\sin^{2} (θ)} - \cot (θ) \sin (θ)$

Paso 4.2.5

Reescribe en términos de senos y cosenos, luego, cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.5.1

Agrega paréntesis.

$- \frac{\cos (θ)}{\sin^{2} (θ)} - (\cot (θ) \sin (θ))$

Paso 4.2.5.2

Reescribe $- \cot (θ) \sin (θ)$ en términos de senos y cosenos.

$- \frac{\cos (θ)}{\sin^{2} (θ)} - (\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin (θ))$

Paso 4.2.5.3

Cancela los factores comunes.

$- \frac{\cos (θ)}{\sin^{2} (θ)} - \cos (θ)$

Paso 4.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1

Factoriza $\sin (θ)$ de $\sin^{2} (θ)$ .

$- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ) \sin (θ)} - \cos (θ)$

Paso 4.3.2

Separa las fracciones.

$- (\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) - \cos (θ)$

Paso 4.3.3

Convierte de $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ a $\cot (θ)$ .

$- (\frac{1}{\sin (θ)} \cot (θ)) - \cos (θ)$

Paso 4.3.4

Convierte de $\frac{1}{\sin (θ)}$ a $\csc (θ)$ .

$- \csc (θ) \cot (θ) - \cos (θ)$