Cálculo Ejemplos

$\frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{- x}$

Paso 1

Escribe $\frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{- x}$ como una función.

$f (x) = \frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{- x}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{- x} d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{4}{\sqrt{x}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

Paso 5

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

Paso 6

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

Paso 6.2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$4 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

Paso 6.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 6.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

Paso 6.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$4 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

Paso 6.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

Paso 8

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 \int \frac{1}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

Paso 9

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + \int - 2 e^{- x} d x$

Paso 10

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 \int e^{- x} d x$

Paso 11

Sea $u = - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 11.1

Deja $u = - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 11.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 11.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 11.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 11.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 11.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 \int - e^{u} d u$

Paso 12

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 (- \int e^{u} d u)$

Paso 13

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 2 \int e^{u} d u$

Paso 14

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 2 (e^{u} + C)$

Paso 15

Simplifica.

$8 x^{\frac{1}{2}} + 3 \ln (| x |) + 2 e^{u} + C$

Paso 16

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} + 3 \ln (| x |) + 2 e^{- x} + C$

Paso 17

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{- x}$ .

$F (x) =$ $8 x^{\frac{1}{2}} + 3 \ln (| x |) + 2 e^{- x} + C$