Cálculo Ejemplos

${(1 - \sin (x))}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ y $g (x) = 1 - \sin (x)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 - \sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - \sin (x)$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

Paso 2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

Paso 3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

Paso 5.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

Paso 6

Diferencia.

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Paso 6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

Paso 6.2

Combina fracciones.

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Paso 6.2.1

Combina ${(1 - \sin (x))}^{- \frac{3}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(1 - \sin (x))}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

Paso 6.2.2

Mueve ${(1 - \sin (x))}^{- \frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

Paso 6.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Paso 6.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Paso 6.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Paso 6.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{3}{2}}} (- \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 6.7

Multiplica.

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Paso 6.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 6.7.2

Multiplica $\frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{3}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 7

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{3}{2}}} \cos (x)$

Paso 8

Combina $\frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{3}{2}}}$ y $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{3}{2}}}$