Cálculo Ejemplos

$\int \frac{- 4}{\sqrt{16 - 36 x^{2}}} d x$

Paso 1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int - \frac{4}{\sqrt{16 - 36 x^{2}}} d x$

Paso 2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{4}{\sqrt{16 - 36 x^{2}}} d x$

Paso 3

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$- (4 \int \frac{1}{\sqrt{16 - 36 x^{2}}} d x)$

Paso 4

Escribe la expresión usando exponentes.

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Paso 4.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{16 - 36 x^{2}}} d x$

Paso 4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - 36 x^{2}}} d x$

Paso 4.3

Reescribe $36 x^{2}$ como ${(6 x)}^{2}$ .

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - {(6 x)}^{2}}} d x$

Paso 5

Sea $u = 6 x$ . Entonces $d u = 6 d x$ , de modo que $\frac{1}{6} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 6 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 5.1.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Paso 5.1.4

Multiplica $6$ por $1$ .

$6$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}} \cdot \frac{1}{6} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$- 4 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}} d u)$

Paso 7

La integral de $\frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}}$ con respecto a $u$ es $\arcsin (\frac{u}{4})$ .

$- 4 (\frac{1}{6} (\arcsin (\frac{u}{4}) + C))$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Simplifica.

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Paso 8.1.1

Combina $\frac{1}{6}$ y $- 4$ .

$\frac{- 4}{6} (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

Paso 8.1.2

Cancela el factor común de $- 4$ y $6$ .

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Paso 8.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 (- 2)}{6} (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

Paso 8.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3} (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

Paso 8.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3} (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

Paso 8.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2}{3} (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

Paso 8.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{3} (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

Paso 8.2

Reescribe $- \frac{2}{3} (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$ como $- \frac{2}{3} \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$ .

$- \frac{2}{3} \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 x$ .

$- \frac{2}{3} \arcsin (\frac{1}{4} (6 x)) + C$

Paso 10

Combina $\arcsin (\frac{1}{4} (6 x))$ y $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{\arcsin (\frac{1}{4} \cdot 6 x) \cdot 2}{3} + C$

Paso 11

Reordena los términos.

$- \frac{2}{3} \arcsin (\frac{1}{4} \cdot 6 x) + C$