Cálculo Ejemplos

$y = (- x^{2} + e^{x}) (2 \sin (x) + \cos (x))$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - x^{2} + e^{x}$ y $g (x) = 2 \sin (x) + \cos (x)$ .

$(- x^{2} + e^{x}) \frac{d}{d x} [2 \sin (x) + \cos (x)] + (2 \sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [- x^{2} + e^{x}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 \sin (x) + \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$(- x^{2} + e^{x}) (\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (2 \sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [- x^{2} + e^{x}]$

Paso 2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$(- x^{2} + e^{x}) (2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (2 \sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [- x^{2} + e^{x}]$

Paso 3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$(- x^{2} + e^{x}) (2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (2 \sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [- x^{2} + e^{x}]$

Paso 4

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$(- x^{2} + e^{x}) (2 \cos (x) - \sin (x)) + (2 \sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [- x^{2} + e^{x}]$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{2} + e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$(- x^{2} + e^{x}) (2 \cos (x) - \sin (x)) + (2 \sin (x) + \cos (x)) (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 5.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(- x^{2} + e^{x}) (2 \cos (x) - \sin (x)) + (2 \sin (x) + \cos (x)) (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(- x^{2} + e^{x}) (2 \cos (x) - \sin (x)) + (2 \sin (x) + \cos (x)) (- (2 x) + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 5.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(- x^{2} + e^{x}) (2 \cos (x) - \sin (x)) + (2 \sin (x) + \cos (x)) (- 2 x + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 6

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$(- x^{2} + e^{x}) (2 \cos (x) - \sin (x)) + (2 \sin (x) + \cos (x)) (- 2 x + e^{x})$

Paso 7

Reordena los términos.

$(- x^{2} + e^{x}) (2 \cos (x) - \sin (x)) + (- 2 x + e^{x}) (2 \sin (x) + \cos (x))$