Cálculo Ejemplos

$F (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 13 x - 15$

Paso 1

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ .

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Paso 1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$

$q = \pm 1, \pm 2$

Paso 1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm 15, \pm \frac{15}{2}$

Paso 2

Aplica la regla de división sintética en $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 13 x - 15}{x - 3}$ cuando $x = 3$ .

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Paso 2.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$3$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

Paso 2.2

El primer número en el dividendo $(2)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$3$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

	$2$

Paso 2.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2)$ por el divisor $(3)$ y coloca el resultado de $(6)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(3)$ .

$3$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$6$
	$2$

Paso 2.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$3$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$6$
	$2$	$9$

Paso 2.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(9)$ por el divisor $(3)$ y coloca el resultado de $(27)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 13)$ .

$3$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$6$	$27$
	$2$	$9$

Paso 2.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$3$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$6$	$27$
	$2$	$9$	$14$

Paso 2.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(14)$ por el divisor $(3)$ y coloca el resultado de $(42)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 15)$ .

$3$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$6$	$27$	$42$
	$2$	$9$	$14$

Paso 2.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$3$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$6$	$27$	$42$
	$2$	$9$	$14$	$27$

Paso 2.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$2 x^{2} + 9 x + 14 + \frac{27}{x - 3}$

Paso 3

Como $3 > 0$ y todos los signos en la fila inferior de la división sintética son positivos, $3$ es una cota superior para las raíces reales de la función.

Cota superior: $3$

Paso 4

Aplica la regla de división sintética en $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 13 x - 15}{x + \frac{3}{2}}$ cuando $x = - \frac{3}{2}$ .

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Paso 4.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- \frac{3}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

Paso 4.2

El primer número en el dividendo $(2)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- \frac{3}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

	$2$

Paso 4.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2)$ por el divisor $(- \frac{3}{2})$ y coloca el resultado de $(- 3)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(3)$ .

$- \frac{3}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 3$
	$2$

Paso 4.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{3}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 3$
	$2$	$0$

Paso 4.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(0)$ por el divisor $(- \frac{3}{2})$ y coloca el resultado de $(0)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 13)$ .

$- \frac{3}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 3$	$0$
	$2$	$0$

Paso 4.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{3}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 3$	$0$
	$2$	$0$	$- 13$

Paso 4.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 13)$ por el divisor $(- \frac{3}{2})$ y coloca el resultado de $(\frac{39}{2})$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 15)$ .

$- \frac{3}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 3$	$0$	$\frac{39}{2}$
	$2$	$0$	$- 13$

Paso 4.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{3}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 3$	$0$	$\frac{39}{2}$
	$2$	$0$	$- 13$	$\frac{9}{2}$

Paso 4.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$2 x^{2} + 0 x - 13 + \frac{\frac{9}{2}}{x + \frac{3}{2}}$

Paso 4.10

Simplifica el polinomio del cociente.

$2 x^{2} - 13 + \frac{9}{2 x + 3}$

Paso 5

Como $- \frac{3}{2} < 0$ y los signos en la fila inferior del signo alternativo de la división sintética, $- \frac{3}{2}$ es una cota inferior para las raíces reales de la función.

Cota inferior: $- \frac{3}{2}$

Paso 6

Aplica la regla de división sintética en $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 13 x - 15}{x - 5}$ cuando $x = 5$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(2)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

	$2$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2)$ por el divisor $(5)$ y coloca el resultado de $(10)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(3)$ .

$5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$10$
	$2$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$10$
	$2$	$13$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(13)$ por el divisor $(5)$ y coloca el resultado de $(65)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 13)$ .

$5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$10$	$65$
	$2$	$13$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$10$	$65$
	$2$	$13$	$52$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(52)$ por el divisor $(5)$ y coloca el resultado de $(260)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 15)$ .

$5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$10$	$65$	$260$
	$2$	$13$	$52$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$10$	$65$	$260$
	$2$	$13$	$52$	$245$

Paso 6.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$2 x^{2} + 13 x + 52 + \frac{245}{x - 5}$

Paso 7

Como $5 > 0$ y todos los signos en la fila inferior de la división sintética son positivos, $5$ es una cota superior para las raíces reales de la función.

Cota superior: $5$

Paso 8

Aplica la regla de división sintética en $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 13 x - 15}{x + 5}$ cuando $x = - 5$ .

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Paso 8.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- 5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

Paso 8.2

El primer número en el dividendo $(2)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- 5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

	$2$

Paso 8.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2)$ por el divisor $(- 5)$ y coloca el resultado de $(- 10)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(3)$ .

$- 5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 10$
	$2$

Paso 8.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 10$
	$2$	$- 7$

Paso 8.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 7)$ por el divisor $(- 5)$ y coloca el resultado de $(35)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 13)$ .

$- 5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 10$	$35$
	$2$	$- 7$

Paso 8.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 10$	$35$
	$2$	$- 7$	$22$

Paso 8.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(22)$ por el divisor $(- 5)$ y coloca el resultado de $(- 110)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 15)$ .

$- 5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 10$	$35$	$- 110$
	$2$	$- 7$	$22$

Paso 8.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 10$	$35$	$- 110$
	$2$	$- 7$	$22$	$- 125$

Paso 8.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$2 x^{2} + - 7 x + 22 + \frac{- 125}{x + 5}$

Paso 8.10

Simplifica el polinomio del cociente.

$2 x^{2} - 7 x + 22 - \frac{125}{x + 5}$

Paso 9

Como $- 5 < 0$ y los signos en la fila inferior del signo alternativo de la división sintética, $- 5$ es una cota inferior para las raíces reales de la función.

Cota inferior: $- 5$

Paso 10

Aplica la regla de división sintética en $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 13 x - 15}{x - \frac{5}{2}}$ cuando $x = \frac{5}{2}$ .

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Paso 10.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$\frac{5}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

Paso 10.2

El primer número en el dividendo $(2)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$\frac{5}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

	$2$

Paso 10.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2)$ por el divisor $(\frac{5}{2})$ y coloca el resultado de $(5)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(3)$ .

$\frac{5}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$5$
	$2$

Paso 10.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{5}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$5$
	$2$	$8$

Paso 10.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(8)$ por el divisor $(\frac{5}{2})$ y coloca el resultado de $(20)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 13)$ .

$\frac{5}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$5$	$20$
	$2$	$8$

Paso 10.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{5}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$5$	$20$
	$2$	$8$	$7$

Paso 10.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(7)$ por el divisor $(\frac{5}{2})$ y coloca el resultado de $(\frac{35}{2})$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 15)$ .

$\frac{5}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$5$	$20$	$\frac{35}{2}$
	$2$	$8$	$7$

Paso 10.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{5}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$5$	$20$	$\frac{35}{2}$
	$2$	$8$	$7$	$\frac{5}{2}$

Paso 10.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$2 x^{2} + 8 x + 7 + \frac{\frac{5}{2}}{x - \frac{5}{2}}$

Paso 10.10

Simplifica el polinomio del cociente.

$2 x^{2} + 8 x + 7 + \frac{5}{2 x - 5}$

Paso 11

Como $\frac{5}{2} > 0$ y todos los signos en la fila inferior de la división sintética son positivos, $\frac{5}{2}$ es una cota superior para las raíces reales de la función.

Cota superior: $\frac{5}{2}$

Paso 12

Aplica la regla de división sintética en $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 13 x - 15}{x - 15}$ cuando $x = 15$ .

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Paso 12.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

Paso 12.2

El primer número en el dividendo $(2)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

	$2$

Paso 12.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2)$ por el divisor $(15)$ y coloca el resultado de $(30)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(3)$ .

$15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$30$
	$2$

Paso 12.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$30$
	$2$	$33$

Paso 12.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(33)$ por el divisor $(15)$ y coloca el resultado de $(495)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 13)$ .

$15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$30$	$495$
	$2$	$33$

Paso 12.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$30$	$495$
	$2$	$33$	$482$

Paso 12.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(482)$ por el divisor $(15)$ y coloca el resultado de $(7230)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 15)$ .

$15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$30$	$495$	$7230$
	$2$	$33$	$482$

Paso 12.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$30$	$495$	$7230$
	$2$	$33$	$482$	$7215$

Paso 12.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$2 x^{2} + 33 x + 482 + \frac{7215}{x - 15}$

Paso 13

Como $15 > 0$ y todos los signos en la fila inferior de la división sintética son positivos, $15$ es una cota superior para las raíces reales de la función.

Cota superior: $15$

Paso 14

Aplica la regla de división sintética en $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 13 x - 15}{x + 15}$ cuando $x = - 15$ .

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Paso 14.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- 15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

Paso 14.2

El primer número en el dividendo $(2)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- 15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

	$2$

Paso 14.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2)$ por el divisor $(- 15)$ y coloca el resultado de $(- 30)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(3)$ .

$- 15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 30$
	$2$

Paso 14.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 30$
	$2$	$- 27$

Paso 14.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 27)$ por el divisor $(- 15)$ y coloca el resultado de $(405)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 13)$ .

$- 15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 30$	$405$
	$2$	$- 27$

Paso 14.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 30$	$405$
	$2$	$- 27$	$392$

Paso 14.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(392)$ por el divisor $(- 15)$ y coloca el resultado de $(- 5880)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 15)$ .

$- 15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 30$	$405$	$- 5880$
	$2$	$- 27$	$392$

Paso 14.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 30$	$405$	$- 5880$
	$2$	$- 27$	$392$	$- 5895$

Paso 14.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$2 x^{2} + - 27 x + 392 + \frac{- 5895}{x + 15}$

Paso 14.10

Simplifica el polinomio del cociente.

$2 x^{2} - 27 x + 392 - \frac{5895}{x + 15}$

Paso 15

Como $- 15 < 0$ y los signos en la fila inferior del signo alternativo de la división sintética, $- 15$ es una cota inferior para las raíces reales de la función.

Cota inferior: $- 15$

Paso 16

Aplica la regla de división sintética en $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 13 x - 15}{x - \frac{15}{2}}$ cuando $x = \frac{15}{2}$ .

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Paso 16.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$\frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

Paso 16.2

El primer número en el dividendo $(2)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$\frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

	$2$

Paso 16.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2)$ por el divisor $(\frac{15}{2})$ y coloca el resultado de $(15)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(3)$ .

$\frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$15$
	$2$

Paso 16.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$15$
	$2$	$18$

Paso 16.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(18)$ por el divisor $(\frac{15}{2})$ y coloca el resultado de $(135)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 13)$ .

$\frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$15$	$135$
	$2$	$18$

Paso 16.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$15$	$135$
	$2$	$18$	$122$

Paso 16.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(122)$ por el divisor $(\frac{15}{2})$ y coloca el resultado de $(915)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 15)$ .

$\frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$15$	$135$	$915$
	$2$	$18$	$122$

Paso 16.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$15$	$135$	$915$
	$2$	$18$	$122$	$900$

Paso 16.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$2 x^{2} + 18 x + 122 + \frac{900}{x - \frac{15}{2}}$

Paso 16.10

Simplifica el polinomio del cociente.

$2 x^{2} + 18 x + 122 + \frac{1800}{2 x - 15}$

Paso 17

Como $\frac{15}{2} > 0$ y todos los signos en la fila inferior de la división sintética son positivos, $\frac{15}{2}$ es una cota superior para las raíces reales de la función.

Cota superior: $\frac{15}{2}$

Paso 18

Aplica la regla de división sintética en $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 13 x - 15}{x + \frac{15}{2}}$ cuando $x = - \frac{15}{2}$ .

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Paso 18.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- \frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

Paso 18.2

El primer número en el dividendo $(2)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- \frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

	$2$

Paso 18.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2)$ por el divisor $(- \frac{15}{2})$ y coloca el resultado de $(- 15)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(3)$ .

$- \frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 15$
	$2$

Paso 18.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 15$
	$2$	$- 12$

Paso 18.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 12)$ por el divisor $(- \frac{15}{2})$ y coloca el resultado de $(90)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 13)$ .

$- \frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 15$	$90$
	$2$	$- 12$

Paso 18.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 15$	$90$
	$2$	$- 12$	$77$

Paso 18.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(77)$ por el divisor $(- \frac{15}{2})$ y coloca el resultado de $(- \frac{1155}{2})$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 15)$ .

$- \frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 15$	$90$	$- \frac{1155}{2}$
	$2$	$- 12$	$77$

Paso 18.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 15$	$90$	$- \frac{1155}{2}$
	$2$	$- 12$	$77$	$- \frac{1185}{2}$

Paso 18.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$2 x^{2} + - 12 x + 77 + \frac{- \frac{1185}{2}}{x + \frac{15}{2}}$

Paso 18.10

Simplifica el polinomio del cociente.

$2 x^{2} - 12 x + 77 - \frac{1185}{2 x + 15}$

Paso 19

Como $- \frac{15}{2} < 0$ y los signos en la fila inferior del signo alternativo de la división sintética, $- \frac{15}{2}$ es una cota inferior para las raíces reales de la función.

Cota inferior: $- \frac{15}{2}$

Paso 20

Determina los límites superior e inferior.

Cotas superiores: $3, 5, \frac{5}{2}, 15, \frac{15}{2}$

Cotas inferiores: $- \frac{3}{2}, - 5, - 15, - \frac{15}{2}$

Paso 21