Cálculo Ejemplos

$\int 5 \tan (3 x) \ln (\sec (3 x)) d x$

Paso 1

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int \tan (3 x) \ln (\sec (3 x)) d x$

Paso 2

Sea $u_{3} = \ln (\sec (3 x))$ . Entonces $d u_{3} = 3 \tan (3 x) d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{3} = \tan (3 x) d x$ . Reescribe mediante $u_{3}$ y $d$ $u_{3}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{3} = \ln (\sec (3 x))$ . Obtén $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $\ln (\sec (3 x))$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\sec (3 x))]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \sec (3 x)$ .

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Paso 2.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sec (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Paso 2.1.2.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Paso 2.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sec (3 x)$ .

$\frac{1}{\sec (3 x)} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Paso 2.1.3

Reescribe $\sec (3 x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (3 x)}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Paso 2.1.4

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (3 x)}$ .

$1 \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Paso 2.1.5

Multiplica $\cos (3 x)$ por $1$ .

$\cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Paso 2.1.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 2.1.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $3 x$ .

$\cos (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 2.1.6.2

La derivada de $\sec (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\cos (3 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 2.1.6.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x$ .

$\cos (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 2.1.7

Diferencia.

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Paso 2.1.7.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

Paso 2.1.7.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.7.3.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

Paso 2.1.7.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$3 \cdot (\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x))$

Paso 2.1.8

Simplifica.

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Paso 2.1.8.1

Reescribe en términos de senos y cosenos, luego, cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.8.1.1

Agrega paréntesis.

$3 (\cos (3 x) \sec (3 x)) \tan (3 x)$

Paso 2.1.8.1.2

Reordena $\cos (3 x)$ y $\sec (3 x)$ .

$3 (\sec (3 x) \cos (3 x)) \tan (3 x)$

Paso 2.1.8.1.3

Reescribe $3 \cos (3 x) \sec (3 x)$ en términos de senos y cosenos.

$3 (\frac{1}{\cos (3 x)} \cos (3 x)) \tan (3 x)$

Paso 2.1.8.1.4

Cancela los factores comunes.

$3 \cdot 1 \tan (3 x)$

Paso 2.1.8.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 \tan (3 x)$

Paso 2.1.8.3

Reescribe $\tan (3 x)$ en términos de senos y cosenos.

$3 \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Paso 2.1.8.4

Combina $3$ y $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ .

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Paso 2.1.8.5

Separa las fracciones.

$\frac{3}{1} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Paso 2.1.8.6

Convierte de $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ a $\tan (3 x)$ .

$\frac{3}{1} \tan (3 x)$

Paso 2.1.8.7

Divide $3$ por $1$ .

$3 \tan (3 x)$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{3}$ y $d u_{3}$ .

$5 \int u_{3} \frac{1}{3} d u_{3}$

Paso 3

Combina $u_{3}$ y $\frac{1}{3}$ .

$5 \int \frac{u_{3}}{3} d u_{3}$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{3}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$5 (\frac{1}{3} \int u_{3} d u_{3})$

Paso 5

Combina $\frac{1}{3}$ y $5$ .

$\frac{5}{3} \int u_{3} d u_{3}$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u_{3}$ con respecto a $u_{3}$ es $\frac{1}{2} {u_{3}}^{2}$ .

$\frac{5}{3} (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Reescribe $\frac{5}{3} (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C)$ como $\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Multiplica $\frac{5}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{3 \cdot 2} {u_{3}}^{2} + C$

Paso 7.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{5}{6} {u_{3}}^{2} + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $\ln (\sec (3 x))$ .

$\frac{5}{6} \ln^{2} (\sec (3 x)) + C$