Cálculo Ejemplos

$y = \tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x)$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \tan^{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \tan^{3} (x)]$

Paso 2

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \tan^{3} (x)]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \tan^{3} (x)]$ .

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Paso 3.1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{3} \tan^{3} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \tan (x)$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\tan (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\tan (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} (3 \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Paso 3.3

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

Paso 3.4

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{3}{3} (\tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

Paso 3.5

Combina $\tan^{2} (x)$ y $\frac{3}{3}$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{\tan^{2} (x) \cdot 3}{3} \sec^{2} (x)$

Paso 3.6

Combina $\frac{\tan^{2} (x) \cdot 3}{3}$ y $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{\tan^{2} (x) \cdot 3 \sec^{2} (x)}{3}$

Paso 3.7

Mueve $3$ a la izquierda de $\tan^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{3 \cdot \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)}{3}$

Paso 3.8

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.8.1

Cancela el factor común.

$\sec^{2} (x) + \frac{3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)}{3}$

Paso 3.8.2

Divide $\tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$ por $1$ .

$\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reordena los términos.

$\sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{2} (x)$

Paso 4.2

Factoriza $\sec^{2} (x)$ de $\sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{2} (x)$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $\sec^{2} (x)$ de $\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) (\tan^{2} (x)) + \sec^{2} (x)$

Paso 4.2.2

Multiplica por $1$ .

$\sec^{2} (x) (\tan^{2} (x)) + \sec^{2} (x) \cdot 1$

Paso 4.2.3

Factoriza $\sec^{2} (x)$ de $\sec^{2} (x) (\tan^{2} (x)) + \sec^{2} (x) \cdot 1$ .

$\sec^{2} (x) (\tan^{2} (x) + 1)$

Paso 4.3

Aplica la identidad pitagórica.

$\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Paso 4.4

Multiplica $\sec^{2} (x)$ por $\sec^{2} (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 4.4.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\sec (x)}^{2 + 2}$

Paso 4.4.2

Suma $2$ y $2$ .

$\sec^{4} (x)$