Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\ln (x)} \frac{1}{\sqrt{4 + e^{t}}} d t$

Paso 1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{4 + e^{t}}}$ por $\frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{\sqrt{4 + e^{t}}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{1}{\sqrt{4 + e^{t}}} \cdot \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{\sqrt{4 + e^{t}}} d t]$

Paso 2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{4 + e^{t}}}$ por $\frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{\sqrt{4 + e^{t}}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{\sqrt{4 + e^{t}} \sqrt{4 + e^{t}}} d t]$

Paso 2.2

Eleva $\sqrt{4 + e^{t}}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{\sqrt{4 + e^{t}}}^{1} \sqrt{4 + e^{t}}} d t]$

Paso 2.3

Eleva $\sqrt{4 + e^{t}}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{\sqrt{4 + e^{t}}}^{1} {\sqrt{4 + e^{t}}}^{1}} d t]$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{\sqrt{4 + e^{t}}}^{1 + 1}} d t]$

Paso 2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{\sqrt{4 + e^{t}}}^{2}} d t]$

Paso 2.6

Reescribe ${\sqrt{4 + e^{t}}}^{2}$ como $4 + e^{t}$ .

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Paso 2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{4 + e^{t}}$ como ${(4 + e^{t})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{({(4 + e^{t})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} d t]$

Paso 2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{(4 + e^{t})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d t]$

Paso 2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{(4 + e^{t})}^{\frac{2}{2}}} d t]$

Paso 2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{(4 + e^{t})}^{\frac{2}{2}}} d t]$

Paso 2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{(4 + e^{t})}^{1}} d t]$

Paso 2.6.5

Simplifica.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{4 + e^{t}} d t]$

Paso 3

Calcula la derivada de $\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{4 + e^{t}} d t$ con respecto a $x$ mediante el teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena.

$\frac{d}{d x} [\ln (x)] \frac{\sqrt{4 + e^{\ln (x)}}}{4 + e^{\ln (x)}}$

Paso 4

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt{4 + e^{\ln (x)}}}{4 + e^{\ln (x)}}$

Paso 5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt{4 + x}}{4 + e^{\ln (x)}}$

Paso 6

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt{4 + x}}{4 + x}$

Paso 7

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{\sqrt{4 + x}}{4 + x}$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x (4 + x)}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x \cdot 4 + x \cdot x}$

Paso 8.2

Combina los términos.

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Paso 8.2.1

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 \cdot x + x \cdot x}$

Paso 8.2.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 x + x^{1} x}$

Paso 8.2.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 x + x^{1} x^{1}}$

Paso 8.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 x + x^{1 + 1}}$

Paso 8.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 x + x^{2}}$

Paso 8.3

Reordena los términos.

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x^{2} + 4 x}$

Paso 8.4

Factoriza $x$ de $x^{2} + 4 x$ .

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Paso 8.4.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x \cdot x + 4 x}$

Paso 8.4.2

Factoriza $x$ de $4 x$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x \cdot x + x \cdot 4}$

Paso 8.4.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot 4$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x (x + 4)}$