Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\tan (11 \sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Paso 1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\tan (11 x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

Paso 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\tan (11 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 1.3

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int \tan (11 x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Paso 1.4

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 1.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \tan (11 x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Paso 1.4.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int \tan (11 x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Paso 1.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \tan (11 x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 2

Sea $u = 11 x^{\frac{1}{2}}$ . Entonces $d u = \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , de modo que $- d u = \frac{- 11}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 11 x^{\frac{1}{2}}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $11 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [11 x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.1.2

Como $11$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $11 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $11 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$11 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$11 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 2.1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$11 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 2.1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$11 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 2.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$11 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 2.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$11 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 2.1.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$11 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 2.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$11 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 2.1.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$11 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 2.1.10

Combina $11$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{11 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 2.1.11

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{2}{11} \tan (u) d u$

Paso 3

Dado que $\frac{2}{11}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{2}{11}$ fuera de la integral.

$\frac{2}{11} \int \tan (u) d u$

Paso 4

La integral de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\ln (| \sec (u) |)$ .

$\frac{2}{11} (\ln (| \sec (u) |) + C)$

Paso 5

Simplifica.

$\frac{2}{11} \ln (| \sec (u) |) + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $11 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{11} \ln (| \sec (11 x^{\frac{1}{2}}) |) + C$