Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{36 - x^{2}}} d x$

Paso 1

Sea $x = 6 \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = 6 \cos (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $6 \cos (t)$ es positiva.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - {(6 \sin (t))}^{2}}} (6 \cos (t)) d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{36 - {(6 \sin (t))}^{2}}$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $6 \sin (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - (6^{2} \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.1.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - (36 \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.1.3

Multiplica $36$ por $- 1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - 36 \sin^{2} (t)}} (6 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.2

Factoriza $36$ de $36$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 (1) - 36 \sin^{2} (t)}} (6 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.3

Factoriza $36$ de $- 36 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.4

Factoriza $36$ de $36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 (1 - \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 \cos^{2} (t)}} (6 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.6

Reescribe $36 \cos^{2} (t)$ como ${(6 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{{(6 \cos (t))}^{2}}} (6 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{6 \cos (t)} (6 \cos (t)) d t$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $6 \cos (t)$ .

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{6 \cos (t)} (6 \cos (t)) d t$

Paso 2.2.2

Reescribe la expresión.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 6 \sin (t) d t$

Paso 3

Dado que $6$ es constante con respecto a $t$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$6 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin (t) d t$

Paso 4

La integral de $\sin (t)$ con respecto a $t$ es $- \cos (t)$ .

$6 (- \cos (t)]_{0}^{\frac{π}{6}})$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Evalúa $- \cos (t)$ en $\frac{π}{6}$ y en $0$ .

$6 ((- \cos (\frac{π}{6})) + \cos (0))$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$6 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (0))$

Paso 5.2.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$6 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + 1)$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 6 \cdot 1$

Paso 5.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ al numerador.

$6 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 6 \cdot 1$

Paso 5.3.2.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$2 (3) \frac{- \sqrt{3}}{2} + 6 \cdot 1$

Paso 5.3.2.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot 3 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 6 \cdot 1$

Paso 5.3.2.4

Reescribe la expresión.

$3 (- \sqrt{3}) + 6 \cdot 1$

Paso 5.3.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 \sqrt{3} + 6 \cdot 1$

Paso 5.3.4

Multiplica $6$ por $1$ .

$- 3 \sqrt{3} + 6$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- 3 \sqrt{3} + 6$

Forma decimal:

$0.80384757 \dots$