Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 e^{- 2 x} + {(x - 1)}^{3}$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int 4 e^{- 2 x} + {(x - 1)}^{3} d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 4 e^{- 2 x} d x + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Paso 4

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int e^{- 2 x} d x + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Paso 5

Sea $u_{1} = - 2 x$ . Entonces $d u_{1} = - 2 d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 5.1

Deja $u_{1} = - 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 5.1.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Paso 5.1.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$4 \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Paso 6.2

Combina $e^{u_{1}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$4 \int - \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$4 (- \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}) + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Paso 8

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- 4 \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- 4 (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 4$ .

$\frac{- 4}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Paso 10.2

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 10.2.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Paso 10.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Paso 10.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Paso 10.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2}{1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Paso 10.2.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$- 2 \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Paso 11

La integral de $e^{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $e^{u_{1}}$ .

$- 2 (e^{u_{1}} + C) + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Paso 12

Sea $u_{2} = x - 1$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 12.1

Deja $u_{2} = x - 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 12.1.1

Diferencia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 12.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 12.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 12.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 12.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 12.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$- 2 (e^{u_{1}} + C) + \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Paso 13

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{3}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ .

$- 2 (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Paso 14

Simplifica.

$- 2 e^{u_{1}} + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Paso 15

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 15.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- 2 x$ .

$- 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Paso 15.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x - 1$ .

$- 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{4} {(x - 1)}^{4} + C$

Paso 16

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = 4 e^{- 2 x} + {(x - 1)}^{3}$ .

$F (x) =$ $- 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{4} {(x - 1)}^{4} + C$