Cálculo Ejemplos

$f (x) = - \frac{1}{4} x^{5} + \frac{1}{20} x^{6} + \frac{1}{4} x^{- 3} + \frac{1}{2} x^{3}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{1}{4} x^{5} + \frac{1}{20} x^{6} + \frac{1}{4} x^{- 3} + \frac{1}{2} x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- \frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{4} x^{5}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$- \frac{1}{4} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Paso 1.2.3

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$- 5 (\frac{1}{4}) x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Paso 1.2.4

Combina $- 5$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 5}{4} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Paso 1.2.5

Combina $\frac{- 5}{4}$ y $x^{4}$ .

$\frac{- 5 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Paso 1.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{20} x^{6}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $\frac{1}{20}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{20} x^{6}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{20} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{1}{20} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{1}{20} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Paso 1.3.3

Combina $6$ y $\frac{1}{20}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{6}{20} x^{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Paso 1.3.4

Combina $\frac{6}{20}$ y $x^{5}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{6 x^{5}}{20} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Paso 1.3.5

Cancela el factor común de $6$ y $20$ .

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Paso 1.3.5.1

Factoriza $2$ de $6 x^{5}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{2 (3 x^{5})}{20} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Paso 1.3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.5.2.1

Factoriza $2$ de $20$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{2 (3 x^{5})}{2 (10)} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Paso 1.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{2 (3 x^{5})}{2 \cdot 10} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Paso 1.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}]$ .

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Paso 1.4.1

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{4} x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} + \frac{1}{4} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Paso 1.4.3

Combina $- 3$ y $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} + \frac{- 3}{4} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Paso 1.4.4

Combina $\frac{- 3}{4}$ y $x^{- 4}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} + \frac{- 3 x^{- 4}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Paso 1.4.5

Mueve $x^{- 4}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} + \frac{- 3}{4 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Paso 1.4.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} - \frac{3}{4 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Paso 1.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$ .

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Paso 1.5.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2} x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} - \frac{3}{4 x^{4}} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} - \frac{3}{4 x^{4}} + \frac{1}{2} (3 x^{2})$

Paso 1.5.3

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} - \frac{3}{4 x^{4}} + \frac{3}{2} x^{2}$

Paso 1.5.4

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{2}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} - \frac{3}{4 x^{4}} + \frac{3 x^{2}}{2}$

Paso 1.6

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{3 x^{5}}{10} - \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{3}{4 x^{4}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{3 x^{5}}{10} - \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{3}{4 x^{4}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{5}}{10}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{5}}{10}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{5}}{10}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $\frac{3}{10}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3 x^{5}}{10}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{3}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Paso 2.2.3

Combina $5$ y $\frac{3}{10}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Paso 2.2.4

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{15}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Paso 2.2.5

Combina $\frac{15}{10}$ y $x^{4}$ .

$\frac{15 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Paso 2.2.6

Cancela el factor común de $15$ y $10$ .

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Paso 2.2.6.1

Factoriza $5$ de $15 x^{4}$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Paso 2.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.6.2.1

Factoriza $5$ de $10$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 (2)} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Paso 2.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Paso 2.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- \frac{5}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{5 x^{4}}{4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - \frac{5}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Paso 2.3.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 4 (\frac{5}{4}) x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Paso 2.3.4

Combina $- 4$ y $\frac{5}{4}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{- 4 \cdot 5}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Paso 2.3.5

Multiplica $- 4$ por $5$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{- 20}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Paso 2.3.6

Combina $\frac{- 20}{4}$ y $x^{3}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{- 20 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Paso 2.3.7

Cancela el factor común de $- 20$ y $4$ .

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Paso 2.3.7.1

Factoriza $4$ de $- 20 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{4 (- 5 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Paso 2.3.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.7.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{4 (- 5 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Paso 2.3.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{4 (- 5 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Paso 2.3.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{- 5 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Paso 2.3.7.2.4

Divide $- 5 x^{3}$ por $1$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $\frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3 x^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Paso 2.4.3

Combina $2$ y $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Paso 2.4.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{6}{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Paso 2.4.5

Combina $\frac{6}{2}$ y $x$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{6 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Paso 2.4.6

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 2.4.6.1

Factoriza $2$ de $6 x$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{2 (3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Paso 2.4.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{2 (3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Paso 2.4.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Paso 2.4.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{3 x}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Paso 2.4.6.2.4

Divide $3 x$ por $1$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Paso 2.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$ .

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Paso 2.5.1

Como $- \frac{3}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{3}{4 x^{4}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Paso 2.5.2

Reescribe $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Paso 2.5.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{4}$ .

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Paso 2.5.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{4}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 2.5.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 2.5.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 2.5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Paso 2.5.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Paso 2.5.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Paso 2.5.5.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Paso 2.5.6

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Paso 2.5.7

Multiplica $x^{- 8}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.5.7.1

Mueve $x^{3}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Paso 2.5.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (- 4 x^{3 - 8})$

Paso 2.5.7.3

Resta $8$ de $3$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (- 4 x^{- 5})$

Paso 2.5.8

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + 4 (\frac{3}{4}) x^{- 5}$

Paso 2.5.9

Combina $4$ y $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{4 \cdot 3}{4} x^{- 5}$

Paso 2.5.10

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{12}{4} x^{- 5}$

Paso 2.5.11

Combina $\frac{12}{4}$ y $x^{- 5}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{12 x^{- 5}}{4}$

Paso 2.5.12

Mueve $x^{- 5}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{12}{4 x^{5}}$

Paso 2.5.13

Cancela el factor común de $12$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.13.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{4 \cdot 3}{4 x^{5}}$

Paso 2.5.13.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.13.2.1

Factoriza $4$ de $4 x^{5}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{4 \cdot 3}{4 (x^{5})}$

Paso 2.5.13.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{4 \cdot 3}{4 x^{5}}$

Paso 2.5.13.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{3}{x^{5}}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{3}{x^{5}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $\frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3 x^{4}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{3}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Paso 3.2.3

Combina $4$ y $\frac{3}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Paso 3.2.4

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{12}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Paso 3.2.5

Combina $\frac{12}{2}$ y $x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Paso 3.2.6

Cancela el factor común de $12$ y $2$ .

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Paso 3.2.6.1

Factoriza $2$ de $12 x^{3}$ .

$\frac{2 (6 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Paso 3.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Paso 3.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Paso 3.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{6 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Paso 3.2.6.2.4

Divide $6 x^{3}$ por $1$ .

$6 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$6 x^{3} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Paso 3.3.3

Multiplica $3$ por $- 5$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 3.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Paso 3.4.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Paso 3.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$ .

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Paso 3.5.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3}{x^{5}}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Paso 3.5.2

Reescribe $\frac{1}{x^{5}}$ como ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Paso 3.5.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{5}$ .

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Paso 3.5.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{5}$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Paso 3.5.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Paso 3.5.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{5}$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Paso 3.5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Paso 3.5.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{5})}^{- 2}$ .

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Paso 3.5.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Paso 3.5.5.2

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Paso 3.5.6

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Paso 3.5.7

Multiplica $x^{- 10}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.7.1

Mueve $x^{4}$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Paso 3.5.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (- 5 x^{4 - 10})$

Paso 3.5.7.3

Resta $10$ de $4$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (- 5 x^{- 6})$

Paso 3.5.8

Multiplica $- 5$ por $3$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 - 15 x^{- 6}$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 - 15 \frac{1}{x^{6}}$

Paso 3.6.2

Combina los términos.

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Paso 3.6.2.1

Combina $- 15$ y $\frac{1}{x^{6}}$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + \frac{- 15}{x^{6}}$

Paso 3.6.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 - \frac{15}{x^{6}}$

Paso 3.6.3

Reordena los términos.

$f''' (x) = 6 x^{3} - 15 x^{2} - \frac{15}{x^{6}} + 3$

Paso 4

La tercera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $6 x^{3} - 15 x^{2} - \frac{15}{x^{6}} + 3$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} - \frac{15}{x^{6}} + 3$