Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{7 + 4 x^{2}}}{2 x + 5}$

Paso 1

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $- \sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{7}{x^{2}} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}}}}{\frac{2 x}{x} + \frac{5}{x}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Cancela el factor común de $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{7}{x^{2}} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}}}}{2 + \frac{5}{x}}$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{7}{x^{2}} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}}}}{2 + \frac{5}{x}}$

Paso 2.2.2

Divide $4$ por $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{7}{x^{2}} + 4}}{2 + \frac{5}{x}}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{7}{x^{2}} + 4}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{5}{x}}$

Paso 2.4

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{7}{x^{2}} + 4}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{5}{x}}$

Paso 2.5

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{7}{x^{2}} + 4}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{5}{x}}$

Paso 2.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{7}{x^{2}} + lim_{x \to - \infty} 4}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{5}{x}}$

Paso 2.7

Mueve el término $7$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{- \sqrt{7 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to - \infty} 4}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{5}{x}}$

Paso 3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{- \sqrt{7 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} 4}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{5}{x}}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{7 \cdot 0 + 4}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{5}{x}}$

Paso 4.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{7 \cdot 0 + 4}}{lim_{x \to - \infty} 2 + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x}}$

Paso 4.3

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{7 \cdot 0 + 4}}{2 + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x}}$

Paso 4.4

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{- \sqrt{7 \cdot 0 + 4}}{2 + 5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{- \sqrt{7 \cdot 0 + 4}}{2 + 5 \cdot 0}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Multiplica $7$ por $0$ .

$\frac{- \sqrt{0 + 4}}{2 + 5 \cdot 0}$

Paso 6.1.2

Suma $0$ y $4$ .

$\frac{- \sqrt{4}}{2 + 5 \cdot 0}$

Paso 6.1.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{- \sqrt{2^{2}}}{2 + 5 \cdot 0}$

Paso 6.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{- 1 \cdot 2}{2 + 5 \cdot 0}$

Paso 6.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2 + 0}$

Paso 6.2.2

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Paso 6.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2}{2}$

Paso 6.4

Divide $- 2$ por $2$ .

$- 1$