Cálculo Ejemplos

$3 x^{2} + 24 x - y^{2} + 2 y = - 44$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (3 x^{2} + 24 x - y^{2} + 2 y) = \frac{d}{d x} (- 44)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} + 24 x - y^{2} + 2 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $24 x$ con respecto a $x$ es $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 x + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.3.3

Multiplica $24$ por $1$ .

$6 x + 24 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$6 x + 24 - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$6 x + 24 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 x + 24 - (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$6 x + 24 - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.4.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$6 x + 24 - (2 y y') + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.4.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$6 x + 24 - 2 y y' + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 y]$ .

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Paso 2.5.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$6 x + 24 - 2 y y' + 2 \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.5.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$6 x + 24 - 2 y y' + 2 y'$

Paso 2.6

Reordena los términos.

$- 2 y y' + 6 x + 2 y' + 24$

Paso 3

Como $- 44$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 44$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- 2 y y' + 6 x + 2 y' + 24 = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $6 x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 y y' + 2 y' + 24 = - 6 x$

Paso 5.1.2

Resta $24$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 y y' + 2 y' = - 6 x - 24$

Paso 5.2

Factoriza $2 y'$ de $- 2 y y' + 2 y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $2 y'$ de $- 2 y y'$ .

$2 y' (- y) + 2 y' = - 6 x - 24$

Paso 5.2.2

Factoriza $2 y'$ de $2 y'$ .

$2 y' (- y) + 2 y' \cdot 1 = - 6 x - 24$

Paso 5.2.3

Factoriza $2 y'$ de $2 y' (- y) + 2 y' \cdot 1$ .

$2 y' (- y + 1) = - 6 x - 24$

Paso 5.3

Divide cada término en $2 y' (- y + 1) = - 6 x - 24$ por $2 (- y + 1)$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $2 y' (- y + 1) = - 6 x - 24$ por $2 (- y + 1)$ .

$\frac{2 y' (- y + 1)}{2 (- y + 1)} = \frac{- 6 x}{2 (- y + 1)} + \frac{- 24}{2 (- y + 1)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y' (- y + 1)}{2 (- y + 1)} = \frac{- 6 x}{2 (- y + 1)} + \frac{- 24}{2 (- y + 1)}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (- y + 1)}{- y + 1} = \frac{- 6 x}{2 (- y + 1)} + \frac{- 24}{2 (- y + 1)}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $- y + 1$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- y + 1)}{- y + 1} = \frac{- 6 x}{2 (- y + 1)} + \frac{- 24}{2 (- y + 1)}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 6 x}{2 (- y + 1)} + \frac{- 24}{2 (- y + 1)}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común de $- 6$ y $2$ .

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Paso 5.3.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 6 x$ .

$y' = \frac{2 (- 3 x)}{2 (- y + 1)} + \frac{- 24}{2 (- y + 1)}$

Paso 5.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 (- 3 x)}{2 (- y + 1)} + \frac{- 24}{2 (- y + 1)}$

Paso 5.3.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- 3 x}{- y + 1} + \frac{- 24}{2 (- y + 1)}$

Paso 5.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{3 x}{- y + 1} + \frac{- 24}{2 (- y + 1)}$

Paso 5.3.3.1.3

Cancela el factor común de $- 24$ y $2$ .

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Paso 5.3.3.1.3.1

Factoriza $2$ de $- 24$ .

$y' = - \frac{3 x}{- y + 1} + \frac{2 \cdot - 12}{2 (- y + 1)}$

Paso 5.3.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{3 x}{- y + 1} + \frac{2 \cdot - 12}{2 (- y + 1)}$

Paso 5.3.3.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{3 x}{- y + 1} + \frac{- 12}{- y + 1}$

Paso 5.3.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{3 x}{- y + 1} - \frac{12}{- y + 1}$

Paso 5.3.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 5.3.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 3 x - 12}{- y + 1}$

Paso 5.3.3.2.2

Factoriza $3$ de $- 3 x - 12$ .

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Paso 5.3.3.2.2.1

Factoriza $3$ de $- 3 x$ .

$y' = \frac{3 (- x) - 12}{- y + 1}$

Paso 5.3.3.2.2.2

Factoriza $3$ de $- 12$ .

$y' = \frac{3 (- x) + 3 (- 4)}{- y + 1}$

Paso 5.3.3.2.2.3

Factoriza $3$ de $3 (- x) + 3 (- 4)$ .

$y' = \frac{3 (- x - 4)}{- y + 1}$

Paso 5.3.3.2.3

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$y' = \frac{3 (- (x) - 4)}{- y + 1}$

Paso 5.3.3.2.4

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$y' = \frac{3 (- (x) - 1 (4))}{- y + 1}$

Paso 5.3.3.2.5

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (4)$ .

$y' = \frac{3 (- (x + 4))}{- y + 1}$

Paso 5.3.3.2.6

Reescribe $- (x + 4)$ como $- 1 (x + 4)$ .

$y' = \frac{3 (- 1 (x + 4))}{- y + 1}$

Paso 5.3.3.2.7

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$y' = \frac{3 (- 1 (x + 4))}{- (y) + 1}$

Paso 5.3.3.2.8

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{3 (- 1 (x + 4))}{- (y) - 1 (- 1)}$

Paso 5.3.3.2.9

Factoriza $- 1$ de $- (y) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{3 (- 1 (x + 4))}{- (y - 1)}$

Paso 5.3.3.2.10

Reescribe $- (y - 1)$ como $- 1 (y - 1)$ .

$y' = \frac{3 (- 1 (x + 4))}{- 1 (y - 1)}$

Paso 5.3.3.2.11

Cancela el factor común.

$y' = \frac{3 (- 1 (x + 4))}{- 1 (y - 1)}$

Paso 5.3.3.2.12

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{3 (x + 4)}{y - 1}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (x + 4)}{y - 1}$