Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{θ^{2}} \sin (\frac{1}{θ}) \cos (\frac{1}{θ}) d θ$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Combina $\sin (\frac{1}{θ})$ y $\frac{1}{θ^{2}}$ .

$\int \frac{\sin (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} \cdot \cos (\frac{1}{θ}) d θ$

Paso 1.2

Combina $\frac{\sin (\frac{1}{θ})}{θ^{2}}$ y $\cos (\frac{1}{θ})$ .

$\int \frac{\sin (\frac{1}{θ}) \cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} d θ$

Paso 2

Sea $u_{2} = \sin (\frac{1}{θ})$ . Entonces $d u_{2} = - \frac{\cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} d θ$ , de modo que $- d u_{2} = \frac{\cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} d θ$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{2} = \sin (\frac{1}{θ})$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d θ}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $\sin (\frac{1}{θ})$ .

$\frac{d}{d θ} [\sin (\frac{1}{θ})]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ es $f' (g (θ)) g' (θ)$ donde $f (θ) = \sin (θ)$ y $g (θ) = \frac{1}{θ}$ .

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Paso 2.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\frac{1}{θ}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]$

Paso 2.1.2.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]$

Paso 2.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\frac{1}{θ}$ .

$\cos (\frac{1}{θ}) \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.1.3.1

Reescribe $\frac{1}{θ}$ como $θ^{- 1}$ .

$\cos (\frac{1}{θ}) \frac{d}{d θ} [θ^{- 1}]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ es $n θ^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\cos (\frac{1}{θ}) (- θ^{- 2})$

Paso 2.1.4

Simplifica.

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Paso 2.1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (\frac{1}{θ}) (- \frac{1}{θ^{2}})$

Paso 2.1.4.2

Combina $\cos (\frac{1}{θ})$ y $\frac{1}{θ^{2}}$ .

$- \frac{\cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}}$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int - u_{2} d u_{2}$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int u_{2} d u_{2}$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u_{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Paso 5

Reescribe $- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ como $- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sin (\frac{1}{θ})$ .

$- \frac{1}{2} \sin^{2} (\frac{1}{θ}) + C$