Cálculo Ejemplos

$lim_{a \to 2} \frac{a^{2} - 4 a + 4}{a^{2} - 4}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{a \to 2} a^{2} - 4 a + 4}{lim_{a \to 2} a^{2} - 4}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $a$ se aproxima a $2$ .

$\frac{lim_{a \to 2} a^{2} - lim_{a \to 2} 4 a + lim_{a \to 2} 4}{lim_{a \to 2} a^{2} - 4}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el exponente $2$ de $a^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{a \to 2} a)}^{2} - lim_{a \to 2} 4 a + lim_{a \to 2} 4}{lim_{a \to 2} a^{2} - 4}$

Paso 1.1.2.3

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $a$ .

$\frac{{(lim_{a \to 2} a)}^{2} - 4 lim_{a \to 2} a + lim_{a \to 2} 4}{lim_{a \to 2} a^{2} - 4}$

Paso 1.1.2.4

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $a$ se acerca a $2$ .

$\frac{{(lim_{a \to 2} a)}^{2} - 4 lim_{a \to 2} a + 4}{lim_{a \to 2} a^{2} - 4}$

Paso 1.1.2.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $2$ para todos los casos de $a$ .

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Paso 1.1.2.5.1

Evalúa el límite de $a$ mediante el ingreso de $2$ para $a$ .

$\frac{2^{2} - 4 lim_{a \to 2} a + 4}{lim_{a \to 2} a^{2} - 4}$

Paso 1.1.2.5.2

Evalúa el límite de $a$ mediante el ingreso de $2$ para $a$ .

$\frac{2^{2} - 4 \cdot 2 + 4}{lim_{a \to 2} a^{2} - 4}$

Paso 1.1.2.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.6.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{4 - 4 \cdot 2 + 4}{lim_{a \to 2} a^{2} - 4}$

Paso 1.1.2.6.1.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$\frac{4 - 8 + 4}{lim_{a \to 2} a^{2} - 4}$

Paso 1.1.2.6.2

Resta $8$ de $4$ .

$\frac{- 4 + 4}{lim_{a \to 2} a^{2} - 4}$

Paso 1.1.2.6.3

Suma $- 4$ y $4$ .

$\frac{0}{lim_{a \to 2} a^{2} - 4}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $a$ se aproxima a $2$ .

$\frac{0}{lim_{a \to 2} a^{2} - lim_{a \to 2} 4}$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve el exponente $2$ de $a^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{a \to 2} a)}^{2} - lim_{a \to 2} 4}$

Paso 1.1.3.1.3

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $a$ se acerca a $2$ .

$\frac{0}{{(lim_{a \to 2} a)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $a$ mediante el ingreso de $2$ para $a$ .

$\frac{0}{2^{2} - 1 \cdot 4}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{a \to 2} \frac{a^{2} - 4 a + 4}{a^{2} - 4} = lim_{a \to 2} \frac{\frac{d}{d a} [a^{2} - 4 a + 4]}{\frac{d}{d a} [a^{2} - 4]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{a \to 2} \frac{\frac{d}{d a} [a^{2} - 4 a + 4]}{\frac{d}{d a} [a^{2} - 4]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $a^{2} - 4 a + 4$ con respecto a $a$ es $\frac{d}{d a} [a^{2}] + \frac{d}{d a} [- 4 a] + \frac{d}{d a} [4]$ .

$lim_{a \to 2} \frac{\frac{d}{d a} [a^{2}] + \frac{d}{d a} [- 4 a] + \frac{d}{d a} [4]}{\frac{d}{d a} [a^{2} - 4]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ es $n a^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 a + \frac{d}{d a} [- 4 a] + \frac{d}{d a} [4]}{\frac{d}{d a} [a^{2} - 4]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d a} [- 4 a]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $a$ , la derivada de $- 4 a$ con respecto a $a$ es $- 4 \frac{d}{d a} [a]$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 a - 4 \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [4]}{\frac{d}{d a} [a^{2} - 4]}$

Paso 1.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ es $n a^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 a - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d a} [4]}{\frac{d}{d a} [a^{2} - 4]}$

Paso 1.3.4.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 a - 4 + \frac{d}{d a} [4]}{\frac{d}{d a} [a^{2} - 4]}$

Paso 1.3.5

Como $4$ es constante con respecto a $a$ , la derivada de $4$ con respecto a $a$ es $0$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 a - 4 + 0}{\frac{d}{d a} [a^{2} - 4]}$

Paso 1.3.6

Suma $2 a - 4$ y $0$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 a - 4}{\frac{d}{d a} [a^{2} - 4]}$

Paso 1.3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $a^{2} - 4$ con respecto a $a$ es $\frac{d}{d a} [a^{2}] + \frac{d}{d a} [- 4]$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 a - 4}{\frac{d}{d a} [a^{2}] + \frac{d}{d a} [- 4]}$

Paso 1.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ es $n a^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 a - 4}{2 a + \frac{d}{d a} [- 4]}$

Paso 1.3.9

Como $- 4$ es constante con respecto a $a$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $a$ es $0$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 a - 4}{2 a + 0}$

Paso 1.3.10

Suma $2 a$ y $0$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 a - 4}{2 a}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $2 a - 4$ y $2$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $2$ de $2 a$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 (a) - 4}{2 a}$

Paso 1.4.2

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 (a) + 2 \cdot - 2}{2 a}$

Paso 1.4.3

Factoriza $2$ de $2 (a) + 2 (- 2)$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 (a - 2)}{2 a}$

Paso 1.4.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.4.1

Factoriza $2$ de $2 a$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 (a - 2)}{2 (a)}$

Paso 1.4.4.2

Cancela el factor común.

$lim_{a \to 2} \frac{2 (a - 2)}{2 a}$

Paso 1.4.4.3

Reescribe la expresión.

$lim_{a \to 2} \frac{a - 2}{a}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $a$ se aproxima a $2$ .

$\frac{lim_{a \to 2} a - 2}{lim_{a \to 2} a}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $a$ se aproxima a $2$ .

$\frac{lim_{a \to 2} a - lim_{a \to 2} 2}{lim_{a \to 2} a}$

Paso 2.3

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $a$ se acerca a $2$ .

$\frac{lim_{a \to 2} a - 1 \cdot 2}{lim_{a \to 2} a}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $2$ para todos los casos de $a$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $a$ mediante el ingreso de $2$ para $a$ .

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{a \to 2} a}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $a$ mediante el ingreso de $2$ para $a$ .

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{2}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $2 - 1 \cdot 2$ y $2$ .

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Paso 4.1.1

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- 1 (- 2) - 1 \cdot 2}{2}$

Paso 4.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 1 \cdot 2$ .

$\frac{- 1 (- 2) - 1 (2)}{2}$

Paso 4.1.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 2) - 1 (2)$ .

$\frac{- 1 (- 2 + 2)}{2}$

Paso 4.1.4

Factoriza $2$ de $- 1 (- 2 + 2)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 1))}{2}$

Paso 4.1.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.5.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 1))}{2 (1)}$

Paso 4.1.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 1))}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1 (- 1 + 1)}{1}$

Paso 4.1.5.4

Divide $- 1 (- 1 + 1)$ por $1$ .

$- 1 (- 1 + 1)$

Paso 4.2

Reescribe $- 1 (- 1 + 1)$ como $- (- 1 + 1)$ .

$- (- 1 + 1)$

Paso 4.3

Suma $- 1$ y $1$ .

$- 0$

Paso 4.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0$