Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 \sin (6 x + 3) - 4 x$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int 2 \sin (6 x + 3) - 4 x d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 2 \sin (6 x + 3) d x + \int - 4 x d x$

Paso 4

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \sin (6 x + 3) d x + \int - 4 x d x$

Paso 5

Sea $u = 6 x + 3$ . Entonces $d u = 6 d x$ , de modo que $\frac{1}{6} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 6 x + 3$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $6 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [6 x + 3]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Paso 5.1.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 5.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 5.1.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 + 0$

Paso 5.1.4.2

Suma $6$ y $0$ .

$6$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$2 \int \sin (u) \frac{1}{6} d u + \int - 4 x d x$

Paso 6

Combina $\sin (u)$ y $\frac{1}{6}$ .

$2 \int \frac{\sin (u)}{6} d u + \int - 4 x d x$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{6} \int \sin (u) d u) + \int - 4 x d x$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{6}$ y $2$ .

$\frac{2}{6} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 8.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

Paso 8.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

Paso 8.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

Paso 8.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

Paso 9

La integral de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C) + \int - 4 x d x$

Paso 10

Dado que $- 4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 4$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C) - 4 \int x d x$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Simplifica.

$- \frac{\cos (u)}{3} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Paso 12.2

Simplifica.

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Paso 12.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} - 4 \frac{x^{2}}{2} + C$

Paso 12.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{x^{2}}{2}$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{- 4 x^{2}}{2} + C$

Paso 12.2.3

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 12.2.3.1

Factoriza $2$ de $- 4 x^{2}$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2} + C$

Paso 12.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2 (1)} + C$

Paso 12.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Paso 12.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{- 2 x^{2}}{1} + C$

Paso 12.2.3.2.4

Divide $- 2 x^{2}$ por $1$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} - 2 x^{2} + C$

Paso 13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 x + 3$ .

$- \frac{\cos (6 x + 3)}{3} - 2 x^{2} + C$

Paso 14

Reordena los términos.

$- \frac{1}{3} \cos (6 x + 3) - 2 x^{2} + C$

Paso 15

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = 2 \sin (6 x + 3) - 4 x$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \cos (6 x + 3) - 2 x^{2} + C$