Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} {(1 + 5 e^{x})}^{\frac{1}{x}}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 1.1

Reescribe ${(1 + 5 e^{x})}^{\frac{1}{x}}$ como $e^{\ln ({(1 + 5 e^{x})}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(1 + 5 e^{x})}^{\frac{1}{x}})}$

Paso 1.2

Expande $\ln ({(1 + 5 e^{x})}^{\frac{1}{x}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{x}$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x} \ln (1 + 5 e^{x})}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \ln (1 + 5 e^{x})}$

Paso 2.2

Combina $\frac{1}{x}$ y $\ln (1 + 5 e^{x})$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + 5 e^{x})}{x}}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (1 + 5 e^{x})}{lim_{x \to \infty} x}}$

Paso 3.1.2

A medida que el logaritmo se acerca al infinito, el valor va a $\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}}$

Paso 3.1.3

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Paso 3.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Paso 3.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + 5 e^{x})}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 e^{x})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 e^{x})]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 1 + 5 e^{x}$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + 5 e^{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + 5 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + 5 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + 5 e^{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 5 e^{x}} \frac{d}{d x} [1 + 5 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + 5 e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 e^{x}]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 5 e^{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 e^{x}])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 5 e^{x}} (0 + \frac{d}{d x} [5 e^{x}])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [5 e^{x}]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 5 e^{x}} \frac{d}{d x} [5 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.6

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 e^{x}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 5 e^{x}} \cdot 5 \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.7

Combina $5$ y $\frac{1}{1 + 5 e^{x}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{1 + 5 e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.8

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{1 + 5 e^{x}} e^{x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.9

Combina $\frac{5}{1 + 5 e^{x}}$ y $e^{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 e^{x}}{1 + 5 e^{x}}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.10

Reordena los términos.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 e^{x}}{5 e^{x} + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 e^{x}}{5 e^{x} + 1}}{1}}$

Paso 3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{x}}{5 e^{x} + 1} \cdot 1}$

Paso 3.5

Multiplica $\frac{5 e^{x}}{5 e^{x} + 1}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{x}}{5 e^{x} + 1}}$

Paso 4

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 e^{x} + 1}}$

Paso 5

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 5.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 5.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$e^{5 \frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 5 e^{x} + 1}}$

Paso 5.1.2

Como el exponente $x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{x}$ se acerca a $\infty$ .

$e^{5 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5 e^{x} + 1}}$

Paso 5.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 5.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$e^{5 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5 e^{x} + lim_{x \to \infty} 1}}$

Paso 5.1.3.2

Como la función $e^{x}$ se acerca a $\infty$ , la constante positiva $5$ veces la función también se acerca a $\infty$ .

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Paso 5.1.3.2.1

Considera el límite con el múltiplo constante $5$ eliminado.

$e^{5 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 1}}$

Paso 5.1.3.2.2

Como el exponente $x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{x}$ se acerca a $\infty$ .

$e^{5 \frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 1}}$

Paso 5.1.3.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$e^{5 \frac{\infty}{\infty + 1}}$

Paso 5.1.3.4

Infinito más o menos un número es infinito.

$e^{5 \frac{\infty}{\infty}}$

Paso 5.1.3.5

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$e^{5 \frac{\infty}{\infty}}$

Paso 5.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$e^{5 \frac{\infty}{\infty}}$

Paso 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 e^{x} + 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [5 e^{x} + 1]}$

Paso 5.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 5.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [5 e^{x} + 1]}}$

Paso 5.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [5 e^{x} + 1]}}$

Paso 5.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $5 e^{x} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]}}$

Paso 5.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 e^{x}]$ .

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Paso 5.3.4.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 e^{x}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]}}$

Paso 5.3.4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 e^{x} + \frac{d}{d x} [1]}}$

Paso 5.3.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 e^{x} + 0}}$

Paso 5.3.6

Suma $5 e^{x}$ y $0$ .

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 e^{x}}}$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

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Paso 5.4.1

Cancela el factor común.

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 e^{x}}}$

Paso 5.4.2

Reescribe la expresión.

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{5}}$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Evalúa el límite de $\frac{1}{5}$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$e^{5 (\frac{1}{5})}$

Paso 6.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$e^{5 (\frac{1}{5})}$

Paso 6.2.1.2

Reescribe la expresión.

$e^{1}$

Paso 6.2.2

Simplifica.

$e$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$e$

Forma decimal:

$2.71828182 \dots$