Cálculo Ejemplos

${(\frac{1}{2} x - 1)}^{7}$

Paso 1

Escribe ${(\frac{1}{2} x - 1)}^{7}$ como una función.

$f (x) = {(\frac{1}{2} x - 1)}^{7}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int {(\frac{1}{2} x - 1)}^{7} d x$

Paso 4

Sea $u = \frac{1}{2} x - 1$ . Entonces $d u = \frac{1}{2} d x$ , de modo que $2 d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = \frac{1}{2} x - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $\frac{1}{2} x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x - 1]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{2} x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2} x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2} + 0$

Paso 4.1.4.2

Suma $\frac{1}{2}$ y $0$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int u^{7} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$\int u^{7} (1 \cdot 2) d u$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\int u^{7} \cdot 2 d u$

Paso 5.3

Mueve $2$ a la izquierda de $u^{7}$ .

$\int 2 u^{7} d u$

Paso 6

Dado que $2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int u^{7} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{7}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$2 (\frac{1}{8} u^{8} + C)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Reescribe $2 (\frac{1}{8} u^{8} + C)$ como $2 (\frac{1}{8}) u^{8} + C$ .

$2 (\frac{1}{8}) u^{8} + C$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{8}$ .

$\frac{2}{8} u^{8} + C$

Paso 8.2.2

Cancela el factor común de $2$ y $8$ .

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Paso 8.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{8} u^{8} + C$

Paso 8.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} u^{8} + C$

Paso 8.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} u^{8} + C$

Paso 8.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} u^{8} + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{1}{2} x - 1$ .

$\frac{1}{4} {(\frac{1}{2} x - 1)}^{8} + C$

Paso 10

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = {(\frac{1}{2} x - 1)}^{7}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} {(\frac{1}{2} x - 1)}^{8} + C$