Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\infty} e^{- s t} d t$

Paso 1

Escribe la integral como un límite a medida que $t_{1}$ se acerca a $\infty$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{t_{1}} e^{- s t} d t$

Paso 2

Sea $u = - s t$ . Entonces $d u = - s d t$ , de modo que $- \frac{1}{s} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = - s t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $- s t$ .

$\frac{d}{d t} [- s t]$

Paso 2.1.2

Como $- s$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- s t$ con respecto a $t$ es $- s \frac{d}{d t} [t]$ .

$- s \frac{d}{d t} [t]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- s \cdot 1$

Paso 2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- s$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u = - s t$ .

$u_{lower} = - s \cdot 0$

Paso 2.3

Multiplica $- s \cdot 0$ .

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Paso 2.3.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$u_{lower} = 0 s$

Paso 2.3.2

Multiplica $0$ por $s$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u = - s t$ .

$u_{upper} = - s t_{1}$

Paso 2.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - s t_{1}$

Paso 2.6

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t_{1}} - e^{u} \frac{- 1}{- s} d u$

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t} - e^{u} \frac{- 1}{- s} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t} - e^{u} \frac{1}{s} d u$

Paso 3.2

Combina $\frac{1}{s}$ y $e^{u}$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t} - \frac{e^{u}}{s} d u$

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t_{1}} - \frac{e^{u}}{s} d u$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$lim_{t_{1} \to \infty} - \int_{0}^{- s t_{1}} \frac{e^{u}}{s} d u$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{s}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{s}$ fuera de la integral.

$lim_{t_{1} \to \infty} - (\frac{1}{s} \int_{0}^{- s t_{1}} e^{u} d u)$

Paso 6

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{1}{s} e^{u}]_{0}^{- s t_{1}}$

Paso 7

Combina $e^{u}]_{0}^{- s t_{1}}$ y $\frac{1}{s}$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{e^{u}]_{0}^{- s t_{1}}}{s}$

Paso 8

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.1

Evalúa $e^{u}$ en $- s t_{1}$ y en $0$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{(e^{- s t_{1}}) - e^{0}}{s}$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{e^{- s t_{1}} - 1 \cdot 1}{s}$

Paso 8.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{e^{- s t_{1}} - 1}{s}$

Paso 9

Evalúa el límite.

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Paso 9.1

Evalúa el límite.

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Paso 9.1.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t_{1}$ .

$- lim_{t_{1} \to \infty} \frac{e^{- s t_{1}} - 1}{s}$

Paso 9.1.2

Mueve el término $\frac{1}{s}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t_{1}$ .

$- \frac{1}{s} lim_{t_{1} \to \infty} e^{- s t_{1}} - 1$

Paso 9.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t_{1}$ se aproxima a $\infty$ .

$- \frac{1}{s} (lim_{t_{1} \to \infty} e^{- s t_{1}} - lim_{t_{1} \to \infty} 1)$

Paso 9.2

Como el exponente $- s t_{1}$ se acerca a $- \infty$ , la cantidad $e^{- s t_{1}}$ se acerca a $0$ .

$- \frac{1}{s} (0 - lim_{t_{1} \to \infty} 1)$

Paso 9.3

Evalúa el límite.

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Paso 9.3.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $t_{1}$ se acerca a $\infty$ .

$- \frac{1}{s} (0 - 1 \cdot 1)$

Paso 9.3.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.3.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{s} (0 - 1)$

Paso 9.3.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$- \frac{1}{s} \cdot - 1$

Paso 9.3.2.3

Multiplica $- \frac{1}{s} \cdot - 1$ .

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Paso 9.3.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{1}{s}$

Paso 9.3.2.3.2

Multiplica $\frac{1}{s}$ por $1$ .

$\frac{1}{s}$