Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\sec (x) \tan (x)}{\sec (x) - 1} d x$

Paso 1

Sea $u = \sec (x) - 1$ . Entonces $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \sec (x) - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\sec (x) - 1$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x) - 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\sec (x) - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\sec (x) \tan (x) + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $\sec (x) \tan (x)$ y $0$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Paso 2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Paso 3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sec (x) - 1$ .

$\ln (| \sec (x) - 1 |) + C$