Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{6 x + 5 x^{2}}}{6 x - 1}$

Paso 1

Factoriza $x$ de $6 x + 5 x^{2}$ .

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Paso 1.1

Factoriza $x$ de $6 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x \cdot 6 + 5 x^{2}}}{6 x - 1}$

Paso 1.2

Factoriza $x$ de $5 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x \cdot 6 + x (5 x)}}{6 x - 1}$

Paso 1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot 6 + x (5 x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (6 + 5 x)}}{6 x - 1}$

Paso 2

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (6 + 5 x)}{x^{2}}}}{\frac{6 x}{x} - \frac{1}{x}}$

Paso 3

Cancela el factor común de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (6 + 5 x)}{x^{2}}}}{6 - \frac{1}{x}}$

Paso 4

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (6 + 5 x)}{x \cdot x}}}{6 - \frac{1}{x}}$

Paso 4.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (6 + 5 x)}{x \cdot x}}}{6 - \frac{1}{x}}$

Paso 4.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{6 + 5 x}{x}}}{6 - \frac{1}{x}}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{6 + 5 x}{x}}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{1}{x}}$

Paso 5.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{6 + 5 x}{x}}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{1}{x}}$

Paso 6

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6}{x} + \frac{5 x}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{1}{x}}$

Paso 7

Evalúa el límite.

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Paso 7.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6}{x} + \frac{5 x}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{1}{x}}$

Paso 7.1.2

Divide $5$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6}{x} + 5}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{1}{x}}$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6}{x} + 5}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{1}{x}}$

Paso 7.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6}{x} + 5}{1}}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{1}{x}}$

Paso 7.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} + 5}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{1}{x}}$

Paso 7.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} + lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{1}{x}}$

Paso 7.5

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{1}{x}}$

Paso 8

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{\frac{6 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{1}{x}}$

Paso 9

Evalúa el límite.

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Paso 9.1

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{6 \cdot 0 + 5}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{1}{x}}$

Paso 9.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{6 \cdot 0 + 5}{1}}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{1}{x}}$

Paso 9.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{6 \cdot 0 + 5}{1}}}{lim_{x \to \infty} 6 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 9.4

Evalúa el límite de $6$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{6 \cdot 0 + 5}{1}}}{6 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 10

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{\frac{6 \cdot 0 + 5}{1}}}{6 - 0}$

Paso 11

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.1

Divide $6 \cdot 0 + 5$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{6 \cdot 0 + 5}}{6 - 0}$

Paso 11.2

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.1

Multiplica $6$ por $0$ .

$\frac{\sqrt{0 + 5}}{6 - 0}$

Paso 11.2.2

Suma $0$ y $5$ .

$\frac{\sqrt{5}}{6 - 0}$

Paso 11.3

Simplifica el denominador.

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Paso 11.3.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{\sqrt{5}}{6 + 0}$

Paso 11.3.2

Suma $6$ y $0$ .

$\frac{\sqrt{5}}{6}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\sqrt{5}}{6}$

Forma decimal:

$0.37267799 \dots$