Cálculo Ejemplos

$\int_{- 7}^{0} (\frac{y}{7} + \sqrt{y + 8}) d y$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{- 7}^{0} \frac{y}{7} + \sqrt{y + 8} d y$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 7}^{0} \frac{y}{7} d y + \int_{- 7}^{0} \sqrt{y + 8} d y$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{7}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{1}{7}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{7} \int_{- 7}^{0} y d y + \int_{- 7}^{0} \sqrt{y + 8} d y$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{7} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 7}^{0} + \int_{- 7}^{0} \sqrt{y + 8} d y$

Paso 5

Sea $u = y + 8$ . Entonces $d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = y + 8$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $y + 8$ .

$\frac{d}{d y} [y + 8]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 8$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [8]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [8]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [8]$

Paso 5.1.4

Como $8$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $8$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 5.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 5.2

Sustituye el límite inferior por $y$ en $u = y + 8$ .

$u_{lower} = - 7 + 8$

Paso 5.3

Suma $- 7$ y $8$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 5.4

Sustituye el límite superior por $y$ en $u = y + 8$ .

$u_{upper} = 0 + 8$

Paso 5.5

Suma $0$ y $8$ .

$u_{upper} = 8$

Paso 5.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

Paso 5.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{1}{7} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 7}^{0} + \int_{1}^{8} \sqrt{u} d u$

Paso 6

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{7} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 7}^{0} + \int_{1}^{8} u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{7} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 7}^{0} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{8}$

Paso 8

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.1

Evalúa $\frac{1}{2} y^{2}$ en $0$ y en $- 7$ .

$\frac{1}{7} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 7)}^{2}) + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{8}$

Paso 8.2

Evalúa $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ en $8$ y en $1$ .

$\frac{1}{7} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 7)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{7} (\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} {(- 7)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$\frac{1}{7} (0 - \frac{1}{2} {(- 7)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.3

Eleva $- 7$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{7} (0 - \frac{1}{2} \cdot 49) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.4

Multiplica $49$ por $- 1$ .

$\frac{1}{7} (0 - 49 (\frac{1}{2})) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.5

Combina $- 49$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{7} (0 + \frac{- 49}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{7} (0 - \frac{49}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.7

Resta $\frac{49}{2}$ de $0$ .

$\frac{1}{7} (- \frac{49}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.8

Multiplica $\frac{1}{7}$ por $\frac{49}{2}$ .

$- \frac{49}{7 \cdot 2} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.9

Multiplica $7$ por $2$ .

$- \frac{49}{14} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.10

Cancela el factor común de $49$ y $14$ .

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Paso 8.3.10.1

Factoriza $7$ de $49$ .

$- \frac{7 (7)}{14} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.10.2.1

Factoriza $7$ de $14$ .

$- \frac{7 \cdot 7}{7 \cdot 2} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.10.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{7 \cdot 7}{7 \cdot 2} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.10.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{7}{2} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.11

Combina $\frac{2}{3}$ y $8^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.12

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.13

Multiplica los exponentes en ${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 8.3.13.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.13.2

Multiplica $3 (\frac{3}{2})$ .

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Paso 8.3.13.2.1

Combina $3$ y $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.13.2.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.14

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{1 + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.15

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.16

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{2 + 9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.17

Suma $2$ y $9$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.18

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Paso 8.3.19

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

Paso 8.3.20

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3}$

Paso 8.3.21

Para escribir $- \frac{7}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3}$

Paso 8.3.22

Para escribir $\frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 8.3.23

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.3.23.1

Multiplica $\frac{7}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{7 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 8.3.23.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$- \frac{7 \cdot 3}{6} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 8.3.23.3

Multiplica $\frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{7 \cdot 3}{6} + \frac{(2^{\frac{11}{2}} - 2) \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Paso 8.3.23.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$- \frac{7 \cdot 3}{6} + \frac{(2^{\frac{11}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

Paso 8.3.24

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 7 \cdot 3 + (2^{\frac{11}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

Paso 8.3.25

Multiplica $- 7$ por $3$ .

$\frac{- 21 + (2^{\frac{11}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

Paso 8.3.26

Mueve $2$ a la izquierda de $2^{\frac{11}{2}} - 2$ .

$\frac{- 21 + 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2)}{6}$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Reescribe $- 21$ como $- 1 (21)$ .

$\frac{- 1 (21) + 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2)}{6}$

Paso 9.2

Factoriza $- 1$ de $2 (2^{\frac{11}{2}} - 2)$ .

$\frac{- 1 (21) - (- 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2))}{6}$

Paso 9.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (21) - (- 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2))$ .

$\frac{- 1 (21 - 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2))}{6}$

Paso 9.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{21 - 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2)}{6}$

Paso 10

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{21 - 2 \cdot 2^{\frac{11}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Paso 10.2

Multiplica $- 2 \cdot 2^{\frac{11}{2}}$ .

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Paso 10.2.1

Factoriza el negativo.

$- \frac{21 - (2 \cdot 2^{\frac{11}{2}}) - 2 \cdot - 2}{6}$

Paso 10.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{21 - (2^{1} \cdot 2^{\frac{11}{2}}) - 2 \cdot - 2}{6}$

Paso 10.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{21 - 2^{1 + \frac{11}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Paso 10.2.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{21 - 2^{\frac{2}{2} + \frac{11}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Paso 10.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{21 - 2^{\frac{2 + 11}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Paso 10.2.6

Suma $2$ y $11$ .

$- \frac{21 - 2^{\frac{13}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Paso 10.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$- \frac{21 - 2^{\frac{13}{2}} + 4}{6}$

Paso 10.4

Suma $21$ y $4$ .

$- \frac{25 - 2^{\frac{13}{2}}}{6}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{25 - 2^{\frac{13}{2}}}{6}$

Forma decimal:

$10.91827799 \dots$

Paso 12