Cálculo Ejemplos

$\sqrt{\frac{4}{x}} - \sqrt{3 x}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{\frac{4}{x}} - \sqrt{3 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{4}{x}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{4}{x}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{4}{x}}]$ .

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\frac{4}{x}}$ como ${(\frac{4}{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{4}{x})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = \frac{4}{x}$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{4}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{4}{x}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{4}{x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Paso 2.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4}{x}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{4}{x})}^{\frac{1}{2} - 1} (4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Paso 2.4

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{4}{x})}^{\frac{1}{2} - 1} (4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{4}{x})}^{\frac{1}{2} - 1} (4 (- x^{- 2})) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Paso 2.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{4}{x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (4 (- x^{- 2})) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Paso 2.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{4}{x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (4 (- x^{- 2})) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Paso 2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(\frac{4}{x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (4 (- x^{- 2})) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Paso 2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{4}{x})}^{\frac{1 - 2}{2}} (4 (- x^{- 2})) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Paso 2.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{4}{x})}^{\frac{- 1}{2}} (4 (- x^{- 2})) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Paso 2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} (4 (- x^{- 2})) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Paso 2.11

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- 4 x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Paso 2.12

Combina $- 4$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 4}{2} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Paso 2.13

Combina $x^{- 2}$ y $\frac{- 4}{2}$ .

$\frac{x^{- 2} \cdot - 4}{2} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Paso 2.14

Mueve $- 4$ a la izquierda de $x^{- 2}$ .

$\frac{- 4 \cdot x^{- 2}}{2} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Paso 2.15

Mueve $x^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 4}{2 x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Paso 2.16

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 2.16.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Paso 2.16.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.16.2.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{2})} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Paso 2.16.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Paso 2.16.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Paso 2.17

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$ .

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 x}$ como ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- {(3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- {(3 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.3

Aplica la regla del producto a $3 (x)$ .

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Paso 3.4

Como $- 3^{\frac{1}{2}}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $- 3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} - 3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} - 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 3.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} - 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 3.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} - 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} - 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 3.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} - 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 3.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} - 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} - 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 3.11

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} - 3^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 3.12

Combina $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 3.13

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{x}{4})}^{\frac{1}{2}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.2

Aplica la regla del producto a $\frac{x}{4}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.3

Combina los términos.

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Paso 4.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.3.1

Cancela el factor común.

$- \frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.3.3.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2^{1}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.3.4

Evalúa el exponente.

$- \frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.3.5

Multiplica $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$ por $\frac{2}{x^{2}}$ .

$- \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 x^{2}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{2}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.3.7

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{2}{2 x^{2} x^{- \frac{1}{2}}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.3.8

Multiplica $x^{2}$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.8.1

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{2})} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.3.8.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{2}{2 x^{- \frac{1}{2} + 2}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.3.8.3

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{2 x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.3.8.4

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.3.8.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{2}{2 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.3.8.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.8.6.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{2}{2 x^{\frac{- 1 + 4}{2}}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.3.8.6.2

Suma $- 1$ y $4$ .

$- \frac{2}{2 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.3.9

Cancela el factor común.

$- \frac{2}{2 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.3.10

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$