Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{4}{3} - \frac{1}{2} x^{- 1} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{3}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{4}{3} - \frac{1}{2} x^{- 1} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Paso 1.1.2

Como $\frac{4}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4}{3}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 1}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{2} x^{- 1}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$0 - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$0 - \frac{1}{2} (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Paso 1.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{1}{2}) x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Paso 1.2.4

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Paso 1.2.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- 2}$ .

$0 + \frac{x^{- 2}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Paso 1.2.6

Mueve $x^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{4} x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$0 + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$0 + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Paso 1.3.3

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$0 + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Paso 1.3.4

Combina $\frac{4}{4}$ y $x^{3}$ .

$0 + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Paso 1.3.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.3.5.1

Cancela el factor común.

$0 + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Paso 1.3.5.2

Divide $x^{3}$ por $1$ .

$0 + \frac{1}{2 x^{2}} + x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$ .

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Paso 1.4.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2} x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 + \frac{1}{2 x^{2}} + x^{3} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$0 + \frac{1}{2 x^{2}} + x^{3} + \frac{1}{2} (3 x^{2})$

Paso 1.4.3

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2 x^{2}} + x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$

Paso 1.4.4

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{2}$ .

$0 + \frac{1}{2 x^{2}} + x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Suma $0$ y $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\frac{1}{2 x^{2}} + x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2}$

Paso 1.5.2

Reordena los términos.

$f' (x) = x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{1}{2 x^{2}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{1}{2 x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $\frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3 x^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 x^{2} + \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

Paso 2.2.3

Combina $2$ y $\frac{3}{2}$ .

$3 x^{2} + \frac{2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

Paso 2.2.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$3 x^{2} + \frac{6}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

Paso 2.2.5

Combina $\frac{6}{2}$ y $x$ .

$3 x^{2} + \frac{6 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

Paso 2.2.6

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 2.2.6.1

Factoriza $2$ de $6 x$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

Paso 2.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

Paso 2.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$3 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

Paso 2.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$3 x^{2} + \frac{3 x}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

Paso 2.2.6.2.4

Divide $3 x$ por $1$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2 x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Paso 2.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 2.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Paso 2.3.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} (- x^{- 4} (2 x))$

Paso 2.3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} (- 2 x^{- 4} x)$

Paso 2.3.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Paso 2.3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} (- 2 x^{1 - 4})$

Paso 2.3.9

Resta $4$ de $1$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} (- 2 x^{- 3})$

Paso 2.3.10

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{- 2}{2} x^{- 3}$

Paso 2.3.11

Combina $\frac{- 2}{2}$ y $x^{- 3}$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{- 2 x^{- 3}}{2}$

Paso 2.3.12

Mueve $x^{- 3}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{- 2}{2 x^{3}}$

Paso 2.3.13

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 2.3.13.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{3}}$

Paso 2.3.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.13.2.1

Factoriza $2$ de $2 x^{3}$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{3})}$

Paso 2.3.13.2.2

Cancela el factor común.

$3 x^{2} + 3 x + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{3}}$

Paso 2.3.13.2.3

Reescribe la expresión.

$3 x^{2} + 3 x + \frac{- 1}{x^{3}}$

Paso 2.3.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = 3 x^{2} + 3 x - \frac{1}{x^{3}}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} + 3 x - \frac{1}{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Paso 3.2.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 3.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Paso 3.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$6 x + 3 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$ .

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Paso 3.4.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x^{3}}$ .

$6 x + 3 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 3.4.2

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$6 x + 3 - \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 3.4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{3}$ .

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Paso 3.4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{3}$ .

$6 x + 3 - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 3.4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$6 x + 3 - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 3.4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3}$ .

$6 x + 3 - (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 3.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$6 x + 3 - (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 3.4.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 x + 3 - (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Paso 3.4.6

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Paso 3.4.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 x + 3 - (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Paso 3.4.6.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$6 x + 3 - (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Paso 3.4.7

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$6 x + 3 - (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Paso 3.4.8

Multiplica $x^{- 6}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.8.1

Mueve $x^{2}$ .

$6 x + 3 - (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Paso 3.4.8.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$6 x + 3 - (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Paso 3.4.8.3

Resta $6$ de $2$ .

$6 x + 3 - (- 3 x^{- 4}) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Paso 3.4.9

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$6 x + 3 + 3 x^{- 4} + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Paso 3.4.10

Multiplica $\frac{1}{x^{3}}$ por $0$ .

$6 x + 3 + 3 x^{- 4} + 0$

Paso 3.4.11

Suma $3 x^{- 4}$ y $0$ .

$6 x + 3 + 3 x^{- 4}$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 x + 3 + 3 \frac{1}{x^{4}}$

Paso 3.5.2

Combina $3$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$6 x + 3 + \frac{3}{x^{4}}$

Paso 3.5.3

Reordena los términos.

$f''' (x) = 6 x + \frac{3}{x^{4}} + 3$

Paso 4

La tercera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $6 x + \frac{3}{x^{4}} + 3$ .

$6 x + \frac{3}{x^{4}} + 3$