Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 5}{x (2 x^{2} + 3)}$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 5}{x (2 x^{2}) + x \cdot 3}$

Paso 1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 5}{2 x \cdot x^{2} + x \cdot 3}$

Paso 1.3

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 5}{2 x \cdot x^{2} + 3 \cdot x}$

Paso 1.4

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.1

Mueve $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 5}{2 (x^{2} x) + 3 \cdot x}$

Paso 1.4.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 1.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 5}{2 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot x}$

Paso 1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 5}{2 x^{2 + 1} + 3 \cdot x}$

Paso 1.4.3

Suma $2$ y $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 5}{2 x^{3} + 3 \cdot x}$

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 5}{2 x^{3} + 3 x}$

Paso 2

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{5}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{3 x}{x^{3}}}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x^{3}$ .

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Paso 3.1.1

Multiplica por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} \cdot 1}{x^{3}} + \frac{5}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{3 x}{x^{3}}}$

Paso 3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} + \frac{5}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{3 x}{x^{3}}}$

Paso 3.1.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} + \frac{5}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{3 x}{x^{3}}}$

Paso 3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{5}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{3 x}{x^{3}}}$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{5}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{3 x}{x^{3}}}$

Paso 3.2.1.2

Divide $2$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{5}{x^{3}}}{2 + \frac{3 x}{x^{3}}}$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{3}$ .

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Paso 3.2.2.1

Factoriza $x$ de $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{5}{x^{3}}}{2 + \frac{x \cdot 3}{x^{3}}}$

Paso 3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{5}{x^{3}}}{2 + \frac{x \cdot 3}{x \cdot x^{2}}}$

Paso 3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{5}{x^{3}}}{2 + \frac{x \cdot 3}{x \cdot x^{2}}}$

Paso 3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{5}{x^{3}}}{2 + \frac{3}{x^{2}}}$

Paso 3.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{3}{x^{2}}}$

Paso 3.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{3}{x^{2}}}$

Paso 4

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{0 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{3}{x^{2}}}$

Paso 5

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{3}{x^{2}}}$

Paso 6

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{3}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{0 + 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{3}{x^{2}}}$

Paso 7

Evalúa el límite.

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Paso 7.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{0 + 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}$

Paso 7.2

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{0 + 5 \cdot 0}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}$

Paso 7.3

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0 + 5 \cdot 0}{2 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 8

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{0 + 5 \cdot 0}{2 + 3 \cdot 0}$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{2 + 3 \cdot 0}$

Paso 9.1.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{2 + 3 \cdot 0}$

Paso 9.2

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{0}{2 + 0}$

Paso 9.2.2

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{0}{2}$

Paso 9.3

Divide $0$ por $2$ .

$0$