Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{4} (x^{2} + x) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{1}^{4} x^{2} + x d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{4} x^{2} d x + \int_{1}^{4} x d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} x d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4} + \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4}$ y $\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}$

Paso 5.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.2.1

Evalúa $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$ en $4$ y en $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 4^{3} + \frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Paso 5.2.2

Simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 64 + \frac{1}{2} \cdot 4^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Paso 5.2.2.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $64$ .

$\frac{64}{3} + \frac{1}{2} \cdot 4^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Paso 5.2.2.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{64}{3} + \frac{1}{2} \cdot 16 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Paso 5.2.2.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $16$ .

$\frac{64}{3} + \frac{16}{2} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Paso 5.2.2.5

Cancela el factor común de $16$ y $2$ .

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Paso 5.2.2.5.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$\frac{64}{3} + \frac{2 \cdot 8}{2} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Paso 5.2.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.5.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{64}{3} + \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Paso 5.2.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{64}{3} + \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Paso 5.2.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{64}{3} + \frac{8}{1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Paso 5.2.2.5.2.4

Divide $8$ por $1$ .

$\frac{64}{3} + 8 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Paso 5.2.2.6

Para escribir $8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Paso 5.2.2.7

Combina $8$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Paso 5.2.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{64 + 8 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Paso 5.2.2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.2.9.1

Multiplica $8$ por $3$ .

$\frac{64 + 24}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Paso 5.2.2.9.2

Suma $64$ y $24$ .

$\frac{88}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Paso 5.2.2.10

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{88}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Paso 5.2.2.11

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{88}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Paso 5.2.2.12

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{88}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot 1)$

Paso 5.2.2.13

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{88}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2})$

Paso 5.2.2.14

Para escribir $\frac{1}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{88}{3} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})$

Paso 5.2.2.15

Para escribir $\frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{88}{3} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Paso 5.2.2.16

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.2.2.16.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{88}{3} - (\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Paso 5.2.2.16.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{88}{3} - (\frac{2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Paso 5.2.2.16.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{88}{3} - (\frac{2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3})$

Paso 5.2.2.16.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{88}{3} - (\frac{2}{6} + \frac{3}{6})$

Paso 5.2.2.17

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{88}{3} - \frac{2 + 3}{6}$

Paso 5.2.2.18

Suma $2$ y $3$ .

$\frac{88}{3} - \frac{5}{6}$

Paso 5.2.2.19

Para escribir $\frac{88}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{88}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{6}$

Paso 5.2.2.20

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.2.2.20.1

Multiplica $\frac{88}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{88 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{5}{6}$

Paso 5.2.2.20.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{88 \cdot 2}{6} - \frac{5}{6}$

Paso 5.2.2.21

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{88 \cdot 2 - 5}{6}$

Paso 5.2.2.22

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.2.22.1

Multiplica $88$ por $2$ .

$\frac{176 - 5}{6}$

Paso 5.2.2.22.2

Resta $5$ de $176$ .

$\frac{171}{6}$

Paso 5.2.2.23

Cancela el factor común de $171$ y $6$ .

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Paso 5.2.2.23.1

Factoriza $3$ de $171$ .

$\frac{3 (57)}{6}$

Paso 5.2.2.23.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.23.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 \cdot 57}{3 \cdot 2}$

Paso 5.2.2.23.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 57}{3 \cdot 2}$

Paso 5.2.2.23.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{57}{2}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{57}{2}$

Forma decimal:

$28.5$

Forma de número mixto:

$28 \frac{1}{2}$

Paso 7