Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{x \sqrt{4 x^{2} + 1}} d x$

Paso 1

Sea $x = \frac{1}{2} \tan (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ es positiva.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2} + 1}$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 {(\frac{\tan (t)}{2})}^{2} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\tan (t)}{2}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{2^{2}} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.1.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{4} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.1.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{4} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.1.2

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{\sec^{2} (t)}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sec (t)} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t)}{2} \sec (t)} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.2.2

Combina $\frac{\tan (t)}{2}$ y $\sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.2.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}$ .

$\int 1 \frac{2}{\tan (t) \sec (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.2.4

Multiplica $\frac{2}{\tan (t) \sec (t)}$ por $1$ .

$\int \frac{2}{\tan (t) \sec (t)} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.2.5

Multiplica $\frac{2}{\tan (t) \sec (t)}$ por $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ .

$\int \frac{2 \sec^{2} (t)}{\tan (t) \sec (t) \cdot 2} d t$

Paso 2.2.6

Mueve $2$ a la izquierda de $\tan (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{2 \sec^{2} (t)}{2 \cdot (\tan (t) \sec (t))} d t$

Paso 2.2.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.7.1

Cancela el factor común.

$\int \frac{2 \sec^{2} (t)}{2 \tan (t) \sec (t)} d t$

Paso 2.2.7.2

Reescribe la expresión.

$\int \frac{\sec^{2} (t)}{\tan (t) \sec (t)} d t$

Paso 2.2.8

Cancela el factor común de $\sec^{2} (t)$ y $\sec (t)$ .

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Paso 2.2.8.1

Factoriza $\sec (t)$ de $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\tan (t) \sec (t)} d t$

Paso 2.2.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.8.2.1

Factoriza $\sec (t)$ de $\tan (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) \tan (t)} d t$

Paso 2.2.8.2.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) \tan (t)} d t$

Paso 2.2.8.2.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} d t$

Paso 2.2.9

Reescribe $\tan (t)$ en términos de senos y cosenos.

$\int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Paso 2.2.10

Reescribe $\sec (t)$ en términos de senos y cosenos.

$\int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Paso 2.2.11

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Paso 2.2.12

Cancela el factor común de $\cos (t)$ .

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Paso 2.2.12.1

Cancela el factor común.

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Paso 2.2.12.2

Reescribe la expresión.

$\int \frac{1}{\sin (t)} d t$

Paso 2.2.13

Convierte de $\frac{1}{\sin (t)}$ a $\csc (t)$ .

$\int \csc (t) d t$

Paso 3

La integral de $\csc (t)$ con respecto a $t$ es $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arctan (2 x)$ .

$\ln (| \csc (\arctan (2 x)) - \cot (\arctan (2 x)) |) + C$