Cálculo Ejemplos

$y = x + \frac{1}{x}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x + \frac{1}{x})$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + \frac{1}{x}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x' + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [\frac{1}{x}]$ .

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Paso 3.3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ es $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ donde $f (y) = 1$ y $g (y) = x$ .

$x' + \frac{x \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.3.2

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$x' + \frac{x \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.3.3

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x' + \frac{x \cdot 0 - 1 \cdot 1 x'}{x^{2}}$

Paso 3.3.4

Multiplica $x$ por $0$ .

$x' + \frac{0 - 1 \cdot 1 x'}{x^{2}}$

Paso 3.3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x' + \frac{0 - x'}{x^{2}}$

Paso 3.3.6

Resta $x'$ de $0$ .

$x' + \frac{- x'}{x^{2}}$

Paso 3.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' - \frac{x'}{x^{2}}$

Paso 3.4

Reordena los términos.

$- \frac{x'}{x^{2}} + x'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = - \frac{x'}{x^{2}} + x'$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{x'}{x^{2}} + x' = 1$ .

$- \frac{x'}{x^{2}} + x' = 1$

Paso 5.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{2}, 1, 1$

Paso 5.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{2}$

Paso 5.3

Multiplica cada término en $- \frac{x'}{x^{2}} + x' = 1$ por $x^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.3.1

Multiplica cada término en $- \frac{x'}{x^{2}} + x' = 1$ por $x^{2}$ .

$- \frac{x'}{x^{2}} x^{2} + x' x^{2} = 1 x^{2}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x'}{x^{2}}$ al numerador.

$\frac{- x'}{x^{2}} x^{2} + x' x^{2} = 1 x^{2}$

Paso 5.3.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- x'}{x^{2}} x^{2} + x' x^{2} = 1 x^{2}$

Paso 5.3.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- x' + x' x^{2} = 1 x^{2}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$- x' + x' x^{2} = x^{2}$

Paso 5.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.4.1

Factoriza $x'$ de $- x' + x' x^{2}$ .

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Paso 5.4.1.1

Factoriza $x'$ de $- x'$ .

$x' \cdot - 1 + x' x^{2} = x^{2}$

Paso 5.4.1.2

Factoriza $x'$ de $x' x^{2}$ .

$x' \cdot - 1 + x' (x^{2}) = x^{2}$

Paso 5.4.1.3

Factoriza $x'$ de $x' \cdot - 1 + x' (x^{2})$ .

$x' (- 1 + x^{2}) = x^{2}$

Paso 5.4.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$x' (- 1^{2} + x^{2}) = x^{2}$

Paso 5.4.3

Reordena $- 1^{2}$ y $x^{2}$ .

$x' (x^{2} - 1^{2}) = x^{2}$

Paso 5.4.4

Factoriza.

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Paso 5.4.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$x' ((x + 1) (x - 1)) = x^{2}$

Paso 5.4.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x' (x + 1) (x - 1) = x^{2}$

Paso 5.4.5

Divide cada término en $x' (x + 1) (x - 1) = x^{2}$ por $(x + 1) (x - 1)$ y simplifica.

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Paso 5.4.5.1

Divide cada término en $x' (x + 1) (x - 1) = x^{2}$ por $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{x' (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 5.4.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.5.2.1

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 5.4.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 5.4.5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x' (x - 1)}{x - 1} = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 5.4.5.2.2

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 5.4.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' (x - 1)}{x - 1} = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 5.4.5.2.2.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$