Cálculo Ejemplos

$x^{2} \cdot e^{x^{3}}$

Paso 1

Escribe $x^{2} \cdot e^{x^{3}}$ como una función.

$f (x) = x^{2} \cdot e^{x^{3}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int x^{2} \cdot e^{x^{3}} d x$

Paso 4

Sea $u_{2} = e^{x^{3}}$ . Entonces $d u_{2} = 3 x^{2} e^{x^{3}} d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{x^{3}} d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 4.1

Deja $u_{2} = e^{x^{3}}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $e^{x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{3}$ .

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Paso 4.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 4.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{3}$ .

$e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$e^{x^{3}} (3 x^{2})$

Paso 4.1.4

Simplifica.

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Paso 4.1.4.1

Reordena los factores de $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ .

$3 e^{x^{3}} x^{2}$

Paso 4.1.4.2

Reordena los factores en $3 e^{x^{3}} x^{2}$ .

$3 x^{2} e^{x^{3}}$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{3} d u_{2}$

Paso 5

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} u_{2} + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $e^{x^{3}}$ .

$\frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$

Paso 7

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = x^{2} \cdot e^{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$