Cálculo Ejemplos

$\int (\frac{7 x^{6}}{x^{7} + 2}) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int \frac{7 x^{6}}{x^{7} + 2} d x$

Paso 2

Dado que $7$ es constante con respecto a $x$ , mueve $7$ fuera de la integral.

$7 \int \frac{x^{6}}{x^{7} + 2} d x$

Paso 3

Sea $u = x^{7} + 2$ . Entonces $d u = 7 x^{6} d x$ , de modo que $\frac{1}{7} d u = x^{6} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = x^{7} + 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $x^{7} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{7} + 2]$

Paso 3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{7} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$7 x^{6} + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 3.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$7 x^{6} + 0$

Paso 3.1.5

Suma $7 x^{6}$ y $0$ .

$7 x^{6}$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$7 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{7} d u$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{7}$ .

$7 \int \frac{1}{u \cdot 7} d u$

Paso 4.2

Mueve $7$ a la izquierda de $u$ .

$7 \int \frac{1}{7 u} d u$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{7}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{7}$ fuera de la integral.

$7 (\frac{1}{7} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{7}$ y $7$ .

$\frac{7}{7} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{7}{7} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 6.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int \frac{1}{u} d u$

Paso 6.3

Multiplica $\int \frac{1}{u} d u$ por $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Paso 7

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{7} + 2$ .

$\ln (| x^{7} + 2 |) + C$